Poiché la regolarizzazione L1 equivale a un Laplace (doppio esponenziale) prima dei relativi coefficienti, è possibile farlo come segue. Qui ho tre variabili indipendenti x1, x2 e x3 e y è la variabile di destinazione binaria. La selezione del parametro di regolarizzazione viene fatta inserendo un hyperprior su di esso, in questo caso appena uniforme su un intervallo di buone dimensioni.λ
model {
# Likelihood
for (i in 1:N) {
y[i] ~ dbern(p[i])
logit(p[i]) <- b0 + b[1]*x1[i] + b[2]*x2[i] + b[3]*x3[i]
}
# Prior on constant term
b0 ~ dnorm(0,0.1)
# L1 regularization == a Laplace (double exponential) prior
for (j in 1:3) {
b[j] ~ ddexp(0, lambda)
}
lambda ~ dunif(0.001,10)
# Alternatively, specify lambda via lambda <- 1 or some such
}
Proviamolo usando il dclone
pacchetto in R!
library(dclone)
x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)
x3 <- rnorm(100)
prob <- exp(x1+x2+x3) / (1+exp(x1+x2+x3))
y <- rbinom(100, 1, prob)
data.list <- list(
y = y,
x1 = x1, x2 = x2, x3 = x3,
N = length(y)
)
params = c("b0", "b", "lambda")
temp <- jags.fit(data.list,
params=params,
model="modela.jags",
n.chains=3,
n.adapt=1000,
n.update=1000,
thin=10,
n.iter=10000)
Ed ecco i risultati, rispetto a una regressione logistica non regolamentata:
> summary(temp)
<< blah, blah, blah >>
1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
plus standard error of the mean:
Mean SD Naive SE Time-series SE
b[1] 1.21064 0.3279 0.005987 0.005641
b[2] 0.64730 0.3192 0.005827 0.006014
b[3] 1.25340 0.3217 0.005873 0.006357
b0 0.03313 0.2497 0.004558 0.005580
lambda 1.34334 0.7851 0.014333 0.014999
2. Quantiles for each variable: << deleted to save space >>
> summary(glm(y~x1+x2+x3, family="binomial"))
<< blah, blah, blah >>
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 0.02784 0.25832 0.108 0.9142
x1 1.34955 0.32845 4.109 3.98e-05 ***
x2 0.78031 0.32191 2.424 0.0154 *
x3 1.39065 0.32863 4.232 2.32e-05 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
<< more stuff deleted to save space >>
E possiamo vedere che i tre b
parametri sono stati effettivamente ridotti a zero.
Non so molto sui priori per l'iperparametro della distribuzione di Laplace / il parametro di regolarizzazione, mi dispiace dirlo. Tendo a usare distribuzioni uniformi e guardo il posteriore per vedere se sembra ragionevolmente ben educato, ad esempio, non ammucchiato vicino a un endpoint e quasi al massimo nel mezzo senza orribili problemi di asimmetria. Finora, in genere è stato così. Considerarlo come un parametro di varianza e usare le raccomandazioni di Gelman Le distribuzioni precedenti per i parametri di varianza nei modelli gerarchici funzionano anche per me.