Scomposizione della distribuzione normale

Esiste una distribuzione solo positiva in modo tale che la differenza tra due campioni indipendenti da questa distribuzione sia normalmente distribuita? In tal caso, ha una forma semplice?

distributions probability

— Martin O'Leary
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Domanda interessante! La distribuzione normale è infinitamente scomponibile, il che significa che puoi sempre scriverla come distribuzione di una somma di un numero arbitrario di variabili casuali. Ma questa non è la domanda.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Xi'an,

Se arrivi alla funzione generatrice del momento, la domanda è se consente per una soluzione (in ) che è un momento che genera la funzione di una variabile positiva ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Xi'an,

Hai ragione, @Dilip: una differenza di mezze normali non ha una distribuzione normale. Il problema non è con la varianza della differenza: la forma stessa della distribuzione non è normale (la sua curtosi è troppo grande).

— whuber

Anche se questo è ovvio, può valere la pena notare che l'affermazione è approssimativamente corretta. Dopotutto, la differenza tra una variabile e una variabile ha una distribuzione e, per scegliendo sufficientemente grande, possiamo fare in modo che una delle variabili sia negativa tanto piccola quanto desiderato.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

La risposta alla domanda è No, e deriva da una famosa caratterizzazione delle normali distribuzioni.

$X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

$X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Dilip Sarwate
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Speravo in qualche modo che la risposta fosse sì, ma grazie! Non ho un facile accesso a una copia di Feller - è possibile disegnare una dimostrazione del teorema? Sembra abbastanza controintuitivo.

— Martin O'Leary,

Anche Feller non include la prova originale sostenendo che si basa sulla teoria delle funzioni analitiche e quindi molto diversa dal suo approccio alle funzioni caratteristiche.

— Dilip Sarwate,

Ho pensato che fosse il caso, ma apre la porta a variabili dipendenti. Stavo cercando di trovare un modo per costruire la dipendenza tra 2 mezze normali positive ma non riuscivo proprio a farlo funzionare.

— Michael R. Chernick,

beh forse qualcuno dovrei essere più interessato a provare a risolverlo

— Michael R. Chernick,

Farò una domanda e poi potrai scrivere la tua risposta. Non sto seguendo esattamente come appare questa densità articolare e stai prendendo Z = | X | - | Y |?

— Michael R. Chernick,