Momenti di una distribuzione - qualsiasi uso per momenti parziali o superiori?

È solito usare secondi, terzi e quarti momenti di una distribuzione per descrivere determinate proprietà. I momenti parziali o momenti superiori al quarto descrivono proprietà utili di una distribuzione?

distributions moments partial-moments

— Eduardas
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Non una risposta, ma una cosa da tenere a mente è che i momenti di ordine superiore richiedono molte più osservazioni per ottenere il primo sig-fig.

— Isomorfismi,

Un post che utilizza momenti parziali è stats.stackexchange.com/questions/94402/… . Quindi i momenti parziali hanno qualche utilità e probabilmente potrebbero essere usati di più.

— kjetil b halvorsen,

Risposte:

A parte le proprietà speciali di alcuni numeri (ad esempio, 2), l'unica vera ragione per individuare i momenti interi anziché i momenti frazionari è la convenienza.

I momenti più alti possono essere usati per comprendere il comportamento della coda. Ad esempio, una variabile casuale centrata con varianza 1 ha code subgaussiane (cioè per alcune costanti ) se e solo se $X$ $\mathbb{P}(|X| > t) < C e^{-ct^2}$ $c,C > 0$ per ognie una costante. $\mathbb{E}|X|^p \le (A \sqrt{p})^p$ $p\ge 1$ $A > 0$

— Mark Meckes
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il risultato dichiarato per le code [sub] gaussiane non sembra giusto. secondo il limite [

] citi, lanorma

di una variabile gaussiana centrata non supererebbe [nel limite] 1. ma lanorma

di un rv tende al suo ess sup, che è

per una variabile gaussiana.

A \sqrt{p}

$A\sqrt{p}$

p^{t h}

$p^{th}$

p^{t h}

$p^{th}$

+ \infty

$+\infty$

— ronaf,

Grazie per averlo colto. Ho dimenticato l'esponente su RHS; ora è corretto.

— Mark Meckes,

potresti fornire un riferimento per questo risultato?

— Gary

@Gary: purtroppo non conosco un riferimento (pubblicato o online); fa parte del folklore del mio campo, spiegato in corsi ma scritto come "semplice e noto" sui giornali. La prova è facile, però. Data la stima della coda, la stima del momento segue dall'integrazione per parti (cioè

) e la formula di Stirling. Data la stima del momento, la stima della coda segue applicando la disuguaglianza di Markov e ottimizzando su

E | X |^{p} = \int_{0}^{\infty} p t^{p - 1} P (| X | > t) d t

$\mathbb{E} |X|^p = \int_0^\infty p t^{p-1} \mathbb{P}(|X| > t) dt$

p

$p$

— Mark Meckes,

Divento sospettoso quando sento le persone chiedere del terzo e quarto momento. Ci sono due errori comuni che le persone hanno spesso in mente quando affrontano l'argomento. Non sto dicendo che stai necessariamente facendo questi errori, ma si presentano spesso.

Primo, sembra che credano implicitamente che le distribuzioni possano essere ridotte a quattro numeri; sospettano che solo due numeri non siano sufficienti, ma tre o quattro dovrebbero essere sufficienti.

In secondo luogo, sembra risentire l'approccio di corrispondenza dei momenti alla statistica che ha ampiamente perso i metodi di massima verosimiglianza nelle statistiche contemporanee.

Aggiornamento: ho ampliato questa risposta in un post sul blog .

— John D. Cook
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Un esempio di utilizzo (l'interpretazione è un miglior qualificatore) di un momento più elevato: il quinto momento di una distribuzione univariata misura l'asimmetria delle sue code.

— user603
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Ma il terzo momento (centrale) non lo fa in modo più stabile e pratico?

— whuber

@Whuber:> il terzo sta misurando l'asimmetria generale, che non è la stessa cosa dell'asimmetria della coda. A causa dell'esponente superiore, il valore del quinto è quasi interamente determinato dalle code.

— user603

@Kwak: grazie per aver chiarito il tuo significato. Naturalmente, la stessa risposta potrebbe essere applicata a qualsiasi momento dispari: misurano sempre più l'asimmetria nelle code.

— whuber

@Whuber:> Certo. Si noti che anche per una distribuzione equa come il gaussiano, al 7 ° momento si sta già effettuando un confronto tra il massimo e il minimo.

— user603

@Kwak: due domande di follow-up; non c'è bisogno di rispondere se non vuoi. (1) "Fair tailed" ?? (2) Quali sono il minimo e il massimo di un gaussiano?

— whuber