Qual è la definizione di una distribuzione simmetrica?

Qual è la definizione di una distribuzione simmetrica? Qualcuno mi ha detto che una variabile casuale proveniva da una distribuzione simmetrica se e solo se e hanno la stessa distribuzione. Ma penso che questa definizione sia parzialmente vera. Perché posso presentare un controesempio e . Ovviamente, ha una distribuzione simmetrica, ma e hanno una distribuzione diversa! Ho ragione? Ragazzi, avete mai pensato a questa domanda? Qual è la definizione esatta di distribuzione simmetrica? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— shijing SI
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Quando dici, una "distribuzione è simmetrica", devi specificare rispetto a quale punto è simmetrico. Nel caso della distribuzione normale che presenti, la simmetria è data intorno a

μ

$\mu$ . In questo caso

X - μ

$X-\mu$ e

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ hanno la stessa distribuzione. In termini di densità questo può essere espresso come:

f

$f$ è simmetrico su

μ

$\mu$ se

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ . A proposito, è buona educazione accettare le risposte quando si è soddisfatti con uno di loro.

Sì, abbiamo pensato a questa domanda. In genere simmetrico significa simmetrico su

0

$0$ e, per prevenire ulteriori controesempi, l'affermazione che le distribuzioni sono simmetriche non è qualcosa di vero sulla funzione di distribuzione di probabilità cumulativa . Il tuo "controesempio" presenta una simmetria rispetto al punto

μ \neq 0

$\mu \neq 0$ , non al punto

0

$0$ .

— Dilip Sarwate,

@Dilip Quando una definizione dipende da un modo di descrivere qualcosa, ma quella definizione può essere mostrata come una proprietà intrinseca di quel qualcosa, allora non ha senso applicare la definizione a una diversa forma di descrizione. In questo caso, la simmetria è una proprietà di una distribuzione , ma ciò non implica che tutte le descrizioni di quella distribuzione (inclusi PDF e CDF) debbano essere "simmetriche" allo stesso modo. Applicando la simmetria del PDF al CDF, il tuo commento confonde la domanda piuttosto che chiarirla.

— whuber

shijing, @Procrastinator ha osservato che hai fatto molte domande senza accettare alcuna risposta. Ciò suggerisce che potresti non avere familiarità con il funzionamento di questo sito. Per chiarire ogni equivoco, voi prego di leggere la parte rilevante della nostra FAQ tutto il percorso attraverso ? Ci vorranno solo un paio di minuti e seguire la sua guida migliorerà il valore del nostro sito per te.

— whuber

@whuber Il CDF è una delle poche descrizioni in cui la distribuzione delle parole si verifica effettivamente nel nome e stavo cercando di chiarire che la proprietà di simmetria non era valida per il CDF.

— Dilip Sarwate,

Risposte:

In breve: è simmetrico quando e hanno la stessa distribuzione per un numero reale . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Ma arrivare a questo in modo pienamente giustificato richiede qualche digressione e generalizzazioni, perché solleva molte domande implicite: perché questa definizione di "simmetrico"? Possono esserci altri tipi di simmetrie? Qual è la relazione tra una distribuzione e le sue simmetrie, e viceversa, qual è la relazione tra una "simmetria" e quelle distribuzioni che potrebbero avere quella simmetria?

Le simmetrie in questione sono riflessi della linea reale. Tutti sono nella forma

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

per qualche costante . $a$

Quindi, supponiamo che abbia questa simmetria per almeno una . Quindi la simmetria implica $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

dimostrando che è una mediana di . Allo stesso modo, se ha un'aspettativa, segue immediatamente che . Così di solito può definire facilmente. Anche se no, (e quindi la stessa simmetria) è ancora determinato in modo univoco (se esiste del tutto). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Per vedere questo, sia qualsiasi centro di simmetria. Quindi applicando entrambe le simmetrie vediamo che è invariante sotto la traduzione da . Se , la distribuzione di deve avere un periodo di , il che è impossibile perché la probabilità totale di una distribuzione periodica è o infinita. Pertanto , a dimostrazione del fatto che è univoco. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

Più in generale, quando è un gruppo che agisce fedelmente sulla linea reale (e per estensione su tutti i suoi sottoinsiemi di Borel), potremmo dire che una distribuzione è "simmetrica" (rispetto a ) quando $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

per tutti gli insiemi misurabili e gli elementi , dove indica l'immagine di sotto l'azione di . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Ad esempio, lascia che ancora un gruppo di ordine , ma ora lascia che la sua azione sia quella di prendere il reciproco di un numero reale (e lasciare che risolva ). La distribuzione lognormale standard è simmetrica rispetto a questo gruppo. Questo esempio può essere inteso come un'istanza di una simmetria di riflessione in cui si è verificata una reespressione non lineare delle coordinate. Ciò suggerisce di concentrarsi sulle trasformazioni che rispettano la "struttura" della linea reale. La struttura essenziale per la probabilità deve essere correlata agli insiemi di Borel e alla misura di Lebesgue, entrambi i quali possono essere definiti in termini di distanza (euclidea) tra due punti. $G$ $2$ $0$

Una mappa che preserva la distanza è, per definizione, un'isometria. È noto (e facile, anche se un po 'coinvolto, dimostrare) che tutte le isometrie della linea reale sono generate dalle riflessioni. Quindi, quando si comprende che "simmetrico" significa simmetrico rispetto ad alcuni gruppi di isometrie , il gruppo deve essere generato da al massimo una riflessione e abbiamo visto che la riflessione è determinata in modo univoco da qualsiasi distribuzione simmetrica rispetto ad essa. In questo senso, l'analisi precedente è esaustiva e giustifica la consueta terminologia delle distribuzioni "simmetriche".

Per inciso, una serie di esempi multivariati di distribuzioni invarianti in gruppi di isometrie è offerto considerando le distribuzioni "sferiche". Questi sono invarianti sotto tutte le rotazioni (rispetto ad alcuni centri fissi). Questi generalizzano il caso monodimensionale: le "rotazioni" della linea reale sono solo i riflessi.

Infine, vale la pena sottolineare che una costruzione standard - media sul gruppo - offre un modo per produrre carichi di distribuzioni simmetriche. Nel caso della retta reale, lasciate generato dalla riflessione di un punto di , in modo che esso consiste dell'elemento di identità e questa riflessione, . Lasciate BE qualsiasi distribuzione. Definire la distribuzione impostando $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

per tutti Borel set . Questo è manifestamente simmetrico ed è facile verificare che rimanga una distribuzione (tutte le probabilità rimangono non negative e la probabilità totale è ). $E$ $1$

Gamma

Illustrando il processo di media dei gruppi, il PDF di una distribuzione gamma simmetrizzata (centrata su ) è mostrato in oro. La gamma originale è in blu e il suo riflesso è in rosso. $a=2$

— whuber
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(+1) Vorrei aggiungere che, nell'impostazione multivariata, la definizione di simmetria non è unica. In questo libro ci sono 8 possibili definizioni di distribuzioni multivariate simmetriche.

@Procrastinator Sono curioso di sapere cosa potresti significare "non unico". AFAIK, tutto ciò che giustifica il nome "simmetria" alla fine si riferisce ad un'azione di gruppo su uno spazio. Sarebbe interessante vedere quali diversi tipi di azioni gli statistici hanno trovato utili. Poiché quel libro è esaurito e non disponibile sul Web, potresti dare un rapido esempio di due tipi di simmetria davvero diversi considerati in quel libro?

— whuber

La tua intuizione è corretta, questo è legato alle caratteristiche statistiche: simmetria centrale

; Spherical simmetria

per tutte matrice ortogonale

. Non ricordo il resto, ma cercherò di prendere in prestito il libro in questi giorni. In questo link puoi trovarne alcuni.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@Procrastinator Grazie. Nota che i due esempi che offri sono entrambi casi speciali della definizione generale che ho fornito: la simmetria centrale genera un gruppo di isometrie a due elementi e le simmetrie sferiche sono anche un sottogruppo di tutte le isometrie. La "simmetria ellittica" nel collegamento è una simmetria sferica dopo una trasformazione affine, e quindi esemplifica il fenomeno che ho indicato con l'esempio lognormale. Le "simmetrie angolari" formano nuovamente un gruppo di isometrie. La "simmetria del semispazio" [sic] non è una simmetria, ma ne consente partenze discrete: è una novità.

— whuber

La risposta dipenderà da cosa intendi per simmetria. In fisica la nozione di simmetria è fondamentale ed è diventata molto generale. La simmetria è qualsiasi operazione che lascia invariato il sistema. Nel caso di una distribuzione di probabilità questo potrebbe essere tradotto in qualsiasi operazione che restituisce la stessa probabilità . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

Nel semplice caso del primo esempio ti riferisci alla simmetria di riflessione sul massimo. Se la distribuzione fosse sinusoidale, allora potresti avere la condizione , dove è la lunghezza d'onda o il periodo. Quindi e si adatterebbe comunque ad una definizione più generale di simmetria. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— Michael Hoffman
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