"Variabile casuale assolutamente continua" vs. "Variabile casuale continua"?

Nel libro "Limit Theorems of Probability Theory" di Valentin V. Petrov, ho visto una distinzione tra le definizioni di una distribuzione "continua" e "assolutamente continua", che si afferma come segue:

"... Sidice che ladistribuzione della variabile casuale è continua se per qualsiasi insieme finito o numerabile di punti della linea reale. Si dice che sia assolutamente continuo se per tutti i set di Borel di Lebesgue misura zero ... " $(*)$ $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

Il concetto che conosco è:

"Se una variabile casuale ha una funzione di distribuzione cumulativa continua, allora è assolutamente continua." $(\#)$

le due descrizioni di "continuità assoluta" in e parlano della stessa cosa? Se sì, come posso tradurre una spiegazione nell'altra? $\textbf{My questions are:}$ $(*)$ $(\#)$

Grazie!

probability distributions random-variable

— Tian
fonte

L'esempio standard di una distribuzione continua ma non assolutamente continua è discusso su stats.stackexchange.com/questions/229556/… , dove è rappresentato graficamente e viene fornito il codice per campionarlo.

— whuber

$(*)$

Distribuzioni continue

$F$ $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

$F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

Distribuzioni assolutamente continue

Tutte le funzioni di distribuzione definiscono misure finite positive determinate da $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

La continuità assoluta è un concetto di teoria della misura. Una misura è assolutamente continua rispetto ad un'altra misura (entrambe definite sulla stessa sigma algebra) quando, per ogni set misurabile , implica . In altre parole, rispetto a , non ci sono insiemi "piccoli" (misura zero) a cui assegna "grandi" (diverse da zero). $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

Prenderemo come la solita misura di Lebesgue, per la quale è la lunghezza di un intervallo. La seconda metà di afferma che la misura di probabilità è assolutamente continuo rispetto alla misura di Lebesgue. $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

La continuità assoluta è legata alla differenziabilità. La derivata di una misura rispetto a un'altra (ad un certo punto ) è un concetto intuitivo: prendere un insieme di quartieri misurabili di che si riducono a e confrontare le due misure in quei quartieri. Se si avvicinano sempre allo stesso limite, indipendentemente dalla sequenza di quartieri scelti, quel limite è la derivata. (C'è un problema tecnico: è necessario limitare quei quartieri in modo che non abbiano forme "patologiche". Ciò può essere fatto richiedendo a ciascun quartiere di occupare una parte non trascurabile della regione in cui si trova.) $x$ $x$ $x$

La differenziazione in questo senso è precisamente qual è la domanda in Qual è la definizione di probabilità su una distribuzione continua? si sta rivolgendo.

Scriviamo per la derivata di rispetto a . Il teorema pertinente - è una versione teorica della misura del teorema fondamentale del calcolo - asserisce $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ è assolutamente continuo rispetto a se e solo se per ogni set misurabile . [Rudin, Teorema 8.6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

In altre parole, la continuità assoluta (di rispetto a ) equivale all'esistenza di una funzione di densità . $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

Sommario

Una distribuzione è continua quando è continua come funzione: intuitivamente, non ha "salti". $F$ $F$
Una distribuzione è assolutamente continua quando ha una funzione di densità (rispetto alla misura di Lebesgue). $F$

Che i due tipi di continuità non siano equivalenti è dimostrato da esempi, come quello raccontato su https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 . Questa è la famosa funzione Cantor . Per questa funzione, è quasi ovunque orizzontale (poiché il suo grafico semplice), quindi è quasi ovunque zero, e quindi . Questo ovviamente non dà il valore corretto di (secondo l'assioma della probabilità totale). $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

Commenti

Praticamente tutte le distribuzioni utilizzate nelle applicazioni statistiche sono assolutamente continue, in nessun posto continue (discrete) o loro miscele, quindi la distinzione tra continuità e continuità assoluta viene spesso ignorata. Tuttavia, non apprezzare questa distinzione può portare a ragionamenti confusi e cattive intuizioni, specialmente nei casi in cui il rigore è più necessario: vale a dire, quando una situazione è confusa o non intuitiva, quindi ci affidiamo alla matematica per portarci a risultati corretti. Questo è il motivo per cui di solito non facciamo molto di questo materiale in pratica, ma tutti dovrebbero saperlo.

Riferimento

Rudin, Walter. Analisi reali e complesse . McGraw-Hill, 1974: sezioni 6.2 (Continuità assoluta) e 8.1 (Derivati delle misure).

— whuber
fonte

In altre applicazioni, le distribuzioni non assolutamente continue abbondano. Un esempio è in (alcuni) sistemi dinamici, in cui il ferro di cavallo di Smale abbonda, che danno origine a distribuzioni con proprietà come la distribuzione di Cantor.

— kjetil b halvorsen,