Riferimento per ?

Nella sua risposta alla mia domanda precedente, @Erik P. dà l'espressione dove è l' eccesso di curtosi della distribuzione. Viene fornito un riferimento alla voce di Wikipedia sulla distribuzione della varianza di esempio , ma la pagina di Wikipedia dice "citazione necessaria".

V a r [s^{2}] = σ^{4} (\frac{2}{n - 1} + \frac{κ}{n}),

$\mathrm{Var}[s^2]=\sigma^4 \left(\frac{2}{n-1} + \frac{\kappa}{n}\right) \>,$

κ

$\kappa$

La mia domanda principale è: esiste un riferimento per questa formula? È "banale" derivare e, in tal caso, può essere trovato in un libro di testo? (@Erik P. non è riuscito a trovarlo nelle statistiche matematiche e nell'analisi dei dati, né io nell'Inferenza statistica di Casella e Berger . Anche se l'argomento è trattato.

Sarebbe bello avere un riferimento al libro di testo, ma ancor più utile avere un (il) riferimento primario.

(Una domanda correlata è: qual è la distribuzione della varianza di un campione da una distribuzione sconosciuta? )

Aggiornamento : @cardinal ha sottolineato un'altra equazione su math.SE : dove è il quarto momento centrale.

V a r (S^{2}) = \frac{μ_{4}}{n} - \frac{σ^{4} (n - 3)}{n (n - 1)}

$\mathrm{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

μ_{4}

$\mu_4$

C'è un modo per riorganizzare le equazioni e risolvere le due cose o l'equazione nel titolo è sbagliata?

estimation variance references

— Abe
fonte

Non penso che la formula sia corretta.

— cardinale

Correlati: math.stackexchange.com/a/73080/7003

— cardinale

tale domanda correlata è stata posta da @ byron-schmuland

— Abe il

Penso che intendi rispondere , non chiedere . La formula fornita in questa domanda non è corretta; come dimostra bene la risposta di Byron. :)

— cardinale

Sfortunatamente, tale ping non funziona a meno che non abbia già partecipato al flusso di commenti. :( (Sembra che l'abbia notato dopo il commento che hai pubblicato sulla domanda sul sito di matematica.) Saluti.

— cardinale

Risposte:

Fonte: Introduzione alla teoria della statistica , stato d'animo, Graybill, Boes, 3a edizione, 1974, p. 229.

Derivazione: Si noti che nel link Wikipedia del PO, non è la kurtosi ma l' eccesso di curtosi, che è la curtosi "normale" - 3. Per tornare alla curtosi "regolare" dobbiamo aggiungere 3 nel posto appropriato in la formula di Wikipedia. $\kappa$

Abbiamo, da MGB:

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

che, usando l'identità , può essere organizzato in (derivation mine, quindi anche gli errori): $\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

— jbowman
fonte

(+1) A quasi 40 anni dall'ultima edizione, l'MGB è ancora la migliore introduzione / inizio alla statistica matematica. È un peccato che sia rimasto fuori stampa nel mondo occidentale per così tanto tempo.

— cardinale

Ho trovato un pdf di MGD , ma non c'è citazione alla prova originale. Va bene, ma sarebbe bello sapere dove trovarlo.

— Abe,

La derivazione effettiva del risultato non è in MGB, ma piuttosto ci siamo relegati al problema 5 (b) a pagina 266.

— cardinale

Sì, non tutte le affermazioni sono corredate di prove, ma almeno questa è nel testo, non relegato in una domanda, e c'è una descrizione dell'approccio alla dimostrazione a pag. 230.

— jbowman,

@Abe: Quasi certamente non troverai un riferimento "originale" per questo. Non è il tipo di risultato "pubblicabile" autonomo trovato nelle riviste accademiche. È semplicemente un calcolo (piuttosto noioso) che segue dalle proprietà di base delle aspettative matematiche. Citare un libro di testo come MGB è perfettamente ragionevole e accettabile.

— cardinale

Non è chiaro se questo soddisferà le tue esigenze di riferimento definitivo, ma questa domanda sorge negli esercizi di Casella e Berger:

(pagina 364, esercizio 7.45 b):

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Con riferimento all'esercizio 5b che fornisce un'altra variante, in cui e sono il secondo e il quarto momento ( e ), rispettivamente: $\Theta_2$ $\Theta_4$ $\sigma^2$ $\kappa$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

Questi sono equivalenti all'equazione data in una risposta su math.SE :

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$

— David LeBauer
fonte

È interessante notare che il tuo link e il mio link (nei commenti all'OP) sono diversi, ma indicano lo stesso posto.

— cardinale

@cardinal - Ho appena copiato e incollato dall'OP - ma le ultime cifre sono l'ID utente della persona che copia il link, ad esempio il mio link sarebbe math.stackexchange.com/a/73080/3733

— David LeBauer

Aha! (+1) Non ho notato che l'ultima parte del collegamento era il proprio ID! Grazie per la segnalazione. Siamo seguiti ...

— cardinale il

è bello avere un riferimento affidabile, ma sarebbe comunque bello rintracciare l'originale. +1 per guardare attraverso gli esercizi.

— Abe,

@ cardinal one giustification for / use of tracking is the badge for sharing links (presentatore, booster, publicist)

— David LeBauer