Ho sentito che rapporti o inversioni di variabili casuali spesso sono problematici, nel non avere aspettative. Perché?

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Il titolo è la domanda. Mi è stato detto che rapporti e inversioni di variabili casuali sono spesso problematici. Ciò che si intende è che le aspettative spesso non esistono. C'è una semplice spiegazione generale di ciò?

— kjetil b halvorsen
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Vorrei offrire una spiegazione molto semplice e intuitiva. Equivale a guardare un'immagine: il resto di questo post spiega l'immagine e ne trae conclusioni.

Ecco a cosa si riduce: quando c'è una "massa di probabilità" concentrata vicino a $X=0$ , ci sarà troppa probabilità vicino a $1/X\approx \pm \infty$ , causando una definizione indefinita della sua aspettativa.

Invece di essere completamente generali, concentriamoci su variabili casuali $X$ che hanno densità continue $f_X$ in un quartiere di $0$ . Supponiamo che $f_X(0)\ne 0$ . Visivamente, queste condizioni indicano che il grafico di $f$ trova sopra l'asse attorno a $0$ :

La continuità di $f_X$ intorno a $0$ implica che per qualsiasi altezza positiva $p$ inferiore a $f_X(0)$ e sufficientemente piccola , possiamo ritagliare un rettangolo sotto questo grafico che è centrato attorno a , ha larghezza e altezza , come mostrato. Ciò corrisponde ad esprimere la distribuzione originale come una miscela di una distribuzione uniforme (con peso ) e tutto ciò che rimane. $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

In altre parole, possiamo pensare che nel modo seguente: $X$

Con probabilità , disegna un valore da una distribuzione Uniforme . $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
Altrimenti, disegna un valore dalla distribuzione la cui densità è proporzionale a . (Questa è la funzione disegnata in giallo a destra.) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( è la funzione indicatore.) $I$

Passo $(1)$ mostra che per ogni , la possibilità che sia compresa tra e supera . Equivalentemente, questa è la possibilità che superi . Per dirla in altro modo: scrivere per la funzione sopravvissuto di $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

l'immagine mostra per tutti . $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

Abbiamo finito ora, perché questo fatto su implica che l'aspettativa non è definita. $S$ Confronta gli integrali coinvolti nel calcolo dell'aspettativa della parte positiva di , : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(Questo è un argomento puramente geometrico: ogni integrale rappresenta una regione bidimensionale identificabile e tutte le disuguaglianze derivano da inclusioni rigorose all'interno di quelle regioni. In effetti, non abbiamo nemmeno bisogno di sapere che l'integrale finale è un logaritmo: ci sono semplici geometrie argomenti che mostrano questo divergenza integrale.)

Poiché il lato destro differisce da , anche diverge. La situazione con la parte negativa di è la stessa (perché il rettangolo è centrato attorno a ) e lo stesso argomento mostra l'aspettativa della parte negativa di divergente. Di conseguenza, l'aspettativa di stessa non è definita. $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

Per inciso, lo stesso argomento mostra che quando $X$ ha la probabilità concentrata su un lato di , come qualsiasi distribuzione esponenziale o gamma (con parametro di forma inferiore a ), allora l'aspettativa positiva diverge, ma l'aspettativa negativa è zero. In questo caso l'aspettativa è definita, ma è infinita. $0$ $1$

— whuber
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Ho ragione nel sospettare che l'assunto sia cruciale per il risultato? Voglio dire, abbiamo casi in cui ha momenti almeno per un certo intervallo di parametri coinvolti, e sembra che sia nei casi in cui , come Gamma / Inverse-Gamma

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos,

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@Alecos No, quell'ipotesi non è cruciale. Questo e la continuità di a rendono semplice l'argomento, ma nessuno dei due è essenziale. Considera una con densità proporzionale a per e . Questo è continuo a ma non ha aspettative.

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

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Rapporti e inversioni sono per lo più significativi con variabili casuali non negative, quindi assumerò $X \ge 0$ quasi sicuramente. Quindi, se è una variabile discreta che assume il valore zero con probabilità positiva, saremo dividiamo da zero con una probabilità positiva, il che spiega perché l'aspettativa di non esisterà. $X$ $1/X$

Ora guarda il caso di distribuzione continua, con una variabile casuale con funzione di densità . Supponiamo che e che sia continuo (almeno a zero). Quindi c'è un tale che per . Il valore atteso di è dato da Now, supponendo su quindi su $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$ Ora cambiamo la variabile di integrazione in , abbiamo , ottenendo

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$ , usando questo abbiamo mostra che l'aspettativa non esiste. Un esempio che soddisfa questa ipotesi è la distribuzione esponenziale con tasso 1.

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

Abbiamo dato una risposta per gli inversi, che dire dei rapporti? Sia il rapporto tra due variabili casuali non negative. Se sono indipendenti, possiamo scrivere quindi questo si riduce praticamente al primo caso e non c'è molto di nuovo da dire . E se fossero dipendenti, con il factoring della densità articolare come Quindi otteniamo (usando la stessa sostituzione di cui sopra) e possiamo ragionare come sopra dall'integrale interna. Il risultato sarà che se la densità condizionale (dato $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ) è positivo e continuo a zero, per un insieme di con probabilità marginale positiva, l'aspettativa sarà infinita. Immagino che non sarà facile trovare esempi in cui l'attesa marginale di è infinita, ma l'attesa del rapporto è finita, a meno che non ci sia una correlazione perfetta. Sarebbe bello vedere alcuni esempi del genere!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— kjetil b halvorsen
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