Ottieni una distribuzione congiunta dalla distribuzione marginale a coppie

Supponiamo di avere 3 variabili casuali e conosciamo la distribuzione marginale a coppie , ma non sappiamo nient'altro (come l'indipendenza condizionale). Possiamo ottenere la distribuzione congiunta $X_1,X_2,X_3$ $P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$ $P(X_1,X_2,X_3)$ ?

probability distributions

— starry1990
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No.

Considera una distribuzione trivariata con margini normali bivariati (standard, indipendenti), ma con metà degli ottanti con probabilità 0 e metà con probabilità doppia. In particolare, considerare gli ottanti ---, - ++, + - +, ++ - hanno una doppia probabilità.

Quindi i margini bivariati sono indistinguibili da quello che otterresti con tre variate normali standard. In effetti, c'è un'infinità di distribuzioni trivariate che produrrebbero gli stessi margini bivariati

Come Dilip Sawarte sottolinea nei commenti, ha discusso essenzialmente lo stesso esempio in una risposta (ma invertendo gli ottanti che sono raddoppiati e azzerati) e lo definisce in un modo più formale. Whuber menziona un esempio che coinvolge i variati di Bernoulli che (nel caso banale) appare così:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... dove sarebbe ogni margine bivariato

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4

e quindi equivarrebbe al caso di tre variate indipendenti (o addirittura a tre con esattamente la forma inversa di dipendenza).

Un esempio strettamente correlato che inizialmente ho iniziato a scrivere riguardava un'uniforme trivariata con "fette" alternate in uno schema a scacchiera di probabilità maggiore e inferiore (generalizzando i soliti zero e doppio).

Quindi non puoi calcolare la trivariata dai margini bivariati in generale.

— Glen_b -Restate Monica
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X_{i}

$X_i$

(1 / 2)

$(1/2)$

X_{i}

$X_i$

+ + +, + - -, - + -, - - +

$+++, +--, -+-, --+$

Ma, in casi meno artificiali, forse potrebbero essere fatti dei limiti?

— kjetil b halvorsen,

ci deve essere una soluzione copula qui. Il teorema di Sklar ha estensione al caso n-dimensionale, e lì hai solo i marginali, non i marginali bivariati che hanno maggiori informazioni

— Aksakal,

Aksakal La copula stessa specifica completamente la struttura della dipendenza, non i marginali. Il fatto che sia possibile mantenere i margini ma cambiare la copula è una versione più semplice dello stesso problema qui.

— Glen_b -Restate Monica,