Supponiamo che sia distribuito esponenzialmente non centralmente con la posizione e rate . Quindi, cos'è .k λ E ( log ( X ) )
So che per , la risposta è dove è la costante di Eulero-Mascheroni. Che dire quando ?- log ( λ ) - γ γ k > 0
Assumptions
Supponiamo che sia distribuito esponenzialmente non centralmente con la posizione e rate . Quindi, cos'è .k λ E ( log ( X ) )
So che per , la risposta è dove è la costante di Eulero-Mascheroni. Che dire quando ?- log ( λ ) - γ γ k > 0
Assumptions
Risposte:
L'integrale desiderato può essere sottomesso alla sottomissione mediante manipolazioni a forza bruta; qui, invece, proviamo a dare una derivazione alternativa con un sapore leggermente più probabilistico.
Consenti a essere una variabile casuale esponenziale non centrale con il parametro location e il parametro rate . Quindi dove .
Nota che e così, usando un fatto standard per calcolare l'aspettativa di variabili casuali non negative , Ma, su poiché e così dove l'ultima uguaglianza segue dalla sostituzioneE log ( X / k ) = ∫ ∞ 0 P ( log ( X / k ) > z )
L'integrale sulla dimensione di destra dell'ultimo display è solo per definizione e quindi come confermato dal calcolo Mathematica di @ Procrastinator nei commenti alla domanda.E log X = e λ k Γ ( 0 , λ k ) + log k
NB : La notazione equivalente viene spesso usata al posto di .