Valore log atteso della distribuzione esponenziale non centrale

Supponiamo che sia distribuito esponenzialmente non centralmente con la posizione e rate . Quindi, cos'è . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

So che per , la risposta è dove è la costante di Eulero-Mascheroni. Che dire quando ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Neil G
fonte

Hai provato a integrarti in Mathematica?

Presumo (quando la densità è scritta come ,) altrimenti con probabilità> 0, con conseguenze terribili per .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman,

Ho ottenuto . Mathematica è più veloce se si utilizza il comando per specificare lo spazio dei parametri.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

La funzione gamma incompleta superiore conta come forma chiusa ? (Per me no.) Questo sta semplicemente nascondendo un integrale tramite notazione.

— cardinale il

@NeilG Questo è il codice Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Puoi semplicemente copiarlo e incollarlo in un file .nb. Non sono sicuro che il Wolfram Alpha consenta di includere restrizioni.

L'integrale desiderato può essere sottomesso alla sottomissione mediante manipolazioni a forza bruta; qui, invece, proviamo a dare una derivazione alternativa con un sapore leggermente più probabilistico.

Consenti a essere una variabile casuale esponenziale non centrale con il parametro location e il parametro rate . Quindi dove . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Nota che e così, usando un fatto standard per calcolare l'aspettativa di variabili casuali non negative , Ma, su poiché e così dove l'ultima uguaglianza segue dalla sostituzione $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / K) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / K) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > K (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / K) = e^{λ K} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ K e^{z}) d z = e^{λ K} \int_{λ K}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , osservando che .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

L'integrale sulla dimensione di destra dell'ultimo display è solo per definizione e quindi come confermato dal calcolo Mathematica di @ Procrastinator nei commenti alla domanda. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ K} Γ (0, λ K) + \log K,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : La notazione equivalente viene spesso usata al posto di . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— cardinale
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+1 @Michael Chernick Sembra che non tutti siano pigri;).

Questo è davvero fantastico. Voglio solo far notare a chiunque lo attui che molte implementazioni della funzione gamma incompleta limitano il primo parametro ad essere strettamente positivo. L'identità risolve quel piccolo problema.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G,