Valore log atteso della distribuzione esponenziale non centrale


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Supponiamo che sia distribuito esponenzialmente non centralmente con la posizione e rate . Quindi, cos'è .k λ E ( log ( X ) )XkλE(log(X))

So che per , la risposta è dove è la costante di Eulero-Mascheroni. Che dire quando ?- log ( λ ) - γ γ k > 0k=0-log(λ)-γγK>0


Hai provato a integrarti in Mathematica?

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Presumo (quando la densità è scritta come ,) altrimenti con probabilità> 0, con conseguenze terribili per . K>0λexp{-λ(X-K)}X<0ElogX
jbowman,

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Ho ottenuto . Mathematica è più veloce se si utilizza il comando per specificare lo spazio dei parametri. E[log(X)]=ekλΓ(0,kλ)+log(k)Assumptions

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La funzione gamma incompleta superiore conta come forma chiusa ? (Per me no.) Questo sta semplicemente nascondendo un integrale tramite notazione.
cardinale il

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@NeilG Questo è il codice Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Puoi semplicemente copiarlo e incollarlo in un file .nb. Non sono sicuro che il Wolfram Alpha consenta di includere restrizioni.

Risposte:


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L'integrale desiderato può essere sottomesso alla sottomissione mediante manipolazioni a forza bruta; qui, invece, proviamo a dare una derivazione alternativa con un sapore leggermente più probabilistico.

Consenti a essere una variabile casuale esponenziale non centrale con il parametro location e il parametro rate . Quindi dove .X~EXp(K,λ)K>0λX=Z+KZ~EXp(λ)

Nota che e così, usando un fatto standard per calcolare l'aspettativa di variabili casuali non negative , Ma, su poiché e così dove l'ultima uguaglianza segue dalla sostituzioneE log ( X / k ) = 0 P ( log ( X / k ) > z )log(X/K)0

Elog(X/K)=0P(log(X/K)>z)dz=0P(Z>K(ez-1))dz.
P(Z>K(ez-1))=exp(-λK(ez-1))z0Z~EXp(λ)t = λ k e z d z = d t / t
Elog(X/K)=eλK0exp(-λKez)dz=eλKλKt-1e-tdt,
t=λKez, osservando che .dz=dt/t

L'integrale sulla dimensione di destra dell'ultimo display è solo per definizione e quindi come confermato dal calcolo Mathematica di @ Procrastinator nei commenti alla domanda.E log X = e λ k Γ ( 0 , λ k ) + log kΓ(0,λK)

ElogX=eλKΓ(0,λK)+logK,

NB : La notazione equivalente viene spesso usata al posto di .E1(X)Γ(0,X)


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+1 @Michael Chernick Sembra che non tutti siano pigri;).

Questo è davvero fantastico. Voglio solo far notare a chiunque lo attui che molte implementazioni della funzione gamma incompleta limitano il primo parametro ad essere strettamente positivo. L'identità risolve quel piccolo problema. Γ(0,z)=-Ei(-z)
Neil G,
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