Cosa si intende con -algebra generata da una variabile casuale?

Spesso, nel corso del mio (auto) studio della statistica, ho incontrato la terminologia " -algebra generata da una variabile casuale". Non capisco la definizione su Wikipedia , ma soprattutto non capisco l'intuizione. Perché / quando abbiamo bisogno di algebras generati da variabili casuali? Qual è il loro significato? Conosco quanto segue: $\sigma$ $\sigma-$

a -algebra su un set è una raccolta non vuota di sottoinsiemi di che contiene , è chiusa sotto complemento e sotto unione numerabile. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
introduciamo -algebre per costruire spazi probabilistici su infiniti spazi campione. In particolare, se è infinitamente infinito, sappiamo che possono esistere sottoinsiemi non misurabili (insiemi per i quali non possiamo definire una probabilità). Pertanto, non possiamo semplicemente usare il set di potenze di come nostro set di eventi . Abbiamo bisogno di un insieme più piccolo, che è ancora abbastanza grande da poter definire la probabilità di eventi interessanti e possiamo parlare della convergenza di una sequenza di variabili casuali. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

In breve, penso di avere una buona comprensione intuitiva di $\sigma-$ algebras. Vorrei avere una comprensione simile per i $\sigma-$ algebre generati da variabili casuali: definizione, perché ne abbiamo bisogno, intuizione, un esempio ...

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
fonte

Una caratterizzazione efficace (e intuitivamente significativa) è che questa è la sigma-algebra più grossolana su

Ω

$\Omega$ che rende misurabile la variabile casuale.

— whuber

@whuber grossolana significa più piccola? In altre parole, ho il mio spazio di probabilità

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ , ho un RV

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$ (che è misurabile per definizione di variabile casuale), e

σ

$\sigma$ è il sottoinsieme più piccolo di

F

$\mathcal{F}$ modo che

X

$X$ sia ancora misurabile. Ok, ma questo fa sorgere la domanda su cosa significhi intuitivamente che

X

$X$ è misurabile :-) avrebbe senso dire che possiamo definire la probabilità di tutti gli eventi del tipo

a < X < b

$a\lt X \lt b$ e

e le unioni / intersezioni?

— DeltaIV,

Guardare una alla volta offre poca intuizione riguardo alla misurabilità. Questo concetto si concretizza quando si studiano raccolte di variabili casuali - processi stocastici. A loro volta, i processi stocastici più semplici (come le passeggiate casuali binomiali discrete finite) forniscono un'impostazione interpretabile in cui la sigma-algebra generata da tutte le variabili può essere considerata come "l'informazione disponibile fino a ( e compreso) tempo . "

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber scusa, non capisco :) Gradirei se potessi indicarmi un'altra tua risposta dove vai più in dettaglio, o se desideri espandere questa come risposta. Altrimenti non preoccuparti, forse non ne so abbastanza sui processi stocastici per ottenere il tuo punto. Nondimeno ... Devo affinare le mie capacità di Dynamic Bayesian Network, quindi se questa intuizione aiuta quando si lavora su serie temporali, sarei piuttosto interessato.

— DeltaIV,

Vedi stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Anche utile potrebbe essere stats.stackexchange.com/a/164995/919 e stats.stackexchange.com/a/74339/919 .

— whuber

Considera una casuale . Sappiamo che non è altro che una funzione misurabile da a , dove sono gli insiemi di Borel della linea reale. Per definizione di misurabilità sappiamo che abbiamo $X$ $X$ $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Ma in pratica le preimmagini degli insiemi di Borel potrebbero non essere tutte $\mathcal{A}$ ma potrebbero costituire un sottoinsieme molto più grossolano di esso. Per vedere questo, cerchiamo di definire

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

Usando le proprietà delle preimmagini, non è troppo difficile dimostrare che $\mathcal{\Sigma}$ è una sigma-algebra. Segue inoltre immediatamente che $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ , quindi $\mathcal{\Sigma}$ è una sotto-sigma-algebra. Inoltre, dalle definizioni è facile vedere che la mappatura $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ è misurabile. $\mathcal{\Sigma}$ è in effetti la sigma-algebra più piccola che rende $X$ una variabile casuale poiché tutte le altre sigma-algebre di quel tipo includerebbero almeno $\mathcal{\Sigma}$ . Per la ragione che si tratta di preimages della variabile casuale $X$ , chiamiamo $\mathcal{\Sigma}$ sigma-algebra indotta dalla variabile casuale $X$ .

Ecco un esempio estremo: considera una variabile casuale costante $X$ , ovvero $X(\omega) \equiv \alpha$ . Poi $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ è uguale o $\Omega$ o $\varnothing$ seconda se $\alpha \in B$ . Sigma-algebra così generato è banale e, come tale, è sicuramente incluso in $\mathcal{A}$ .

Spero che sia di aiuto.

— Jöhnk
fonte

è l'insieme di eventi, giusto? Quello che ho indicato con

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV il

Sì, sono nato con la condizione di trovare

più attraente di

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK,

eccellente! Molto chiaro. Dovresti scrivere un libro :)

— DeltaIV,