Cosa c'è di più alto, o

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Quindi ho fatto un test di probabilità e non sono riuscito a rispondere a questa domanda. Ha appena chiesto qualcosa del genere:

"Considerando che è una variabile casuale, , usa la disuguaglianza corretta per dimostrare ciò che è superiore o uguale, o . $X$ $X$ $\geqslant$ $0$ $E(X^2)^3$ $E(X^3)^2$

L'unica cosa che potevo pensare era la disuguaglianza di Jensen, ma non so davvero come applicarla qui.

probability self-study probability-inequalities

— Tricolore
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Prova invece la disuguaglianza del titolare.

— jbowman,

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Aggiungi il tag di studio autonomo.

— Michael R. Chernick,

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Il thread su stats.stackexchange.com/questions/244202/… generalizza questa domanda: basta applicare la sesta radice di entrambe le parti per applicarla.

— whuber

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Si prega di consultare la discussione di domande sullo stile di compiti nel centro assistenza

— Glen_b -Reinstate Monica,

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Questo in effetti può essere dimostrato dalla disuguaglianza di Jensen.

Suggerimento : si noti che per la funzione è convessa in (Ecco dove si usa l'assunzione ). Quindi la disuguaglianza di Jensen dà e per $\alpha > 1$ $x^{\alpha}$ $\left[0, -\infty\right)$ $X \ge 0$

E {[Y]}^{α} \leq E [Y^{α}]

$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$

α < 1

$\alpha < 1$ , è il viceversa.

Ora trasforma le variabili in qualcosa di paragonabile e trova il corrispondente . $\alpha$

— tmrlvi
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Disuguaglianza di Lyapunov (Vedi: Casella e Berger, Inferenza statistica 4.7.6):

Per : $1 < r < s < \infty$

E [| X |^{r}]^{\frac{1}{r}} \leq E [| X |^{s}]^{\frac{1}{s}}

$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Prova :

Dalla disuguaglianza di Jensens per convex : $\phi(x)$ $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Considera , quindi dove $\phi(Y) = Y^t$ $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ $Y = |X|^r$

Sostituisci : $t = \frac{s}{r}$ $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

In generale per questo implica: $X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

— rightskewed
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Supponiamo che X abbia una distribuzione uniforme su [0,1] quindi E (X ) = e quindi E (X ) = ed E ( X ) = quindi E (X ) = . Quindi in questo caso E (X ) > E (X ) . Puoi generalizzare questo o trovare un controesempio? $^2$ $\frac{1}{3}$ $^2$ $^3$ $\frac{1}{27}$ $^3$ $\frac{1}{4}$ $^3$ $^2$ $\frac{1}{16}$ $^3$ $^2$ $^2$ $^3$

— Michael R. Chernick
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Risposta molto vaga. Si richiede al PO di provare la dichiarazione corretta. Non esiste alcun controesempio.

— Zhanxiong,