È possibile che due variabili casuali della stessa famiglia di distribuzione abbiano le stesse aspettative e varianze, ma diversi momenti più elevati?

12

Stavo pensando al significato della famiglia in scala locale. La mia comprensione è che per ogni membro di una famiglia della scala di posizione con parametri posizione e una scala , quindi la distribuzione di non dipende da alcun parametro ed è la stessa per ogni appartenente a quella famiglia. $X$ $a$ $b$ $Z =(X-a)/b$ $X$

Quindi la mia domanda è: potresti fornire un esempio in cui due casuali della stessa famiglia di distribuzione sono standardizzati ma ciò non si traduce in una variabile casuale con la stessa distribuzione?

Dì che e provengono dalla stessa famiglia di distribuzione (dove con famiglia intendo ad esempio sia Normale o sia Gamma e così via ..). Definire: $X$ $Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

sappiamo che sia che hanno la stessa aspettativa e varianza, . $Z_1$ $Z_2$ $\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

Ma possono avere diversi momenti più alti?

Il mio tentativo di rispondere a questa domanda è che se la distribuzione di e dipende da più di 2 parametri di quanto potrebbe essere. E sto pensando allo generalizzato che ha 3 parametri. $X$ $Y$ $t-student$

Ma se il numero di parametri è e e provengono dalla stessa famiglia di distribuzione con le stesse aspettative e varianza, allora significa che e hanno la stessa distribuzione (momenti più alti)? $\le2$ $X$ $Y$ $Z_1$ $Z_2$

— gioxc88
fonte

4

Si Loro possono. Ma avresti bisogno di almeno 3 parametri in una distribuzione generalizzata.

— Carl,

5

@Carl Sarà sufficiente un parametro.

— whuber

5

@Carl Non è chiaro cosa intendi per "stessa distribuzione". Letteralmente, ciò si riferirebbe a una distribuzione unica, con una legge e quindi un'aspettativa unica, varianza unica e momenti unici (nella misura in cui sono definiti). Se intendi "stessa famiglia di distribuzione ", allora la tua osservazione non ha senso, perché la famiglia è qualunque cosa tu definisca.

— whuber

3

@HardCore Dal momento che sembra che tu abbia risposto alla tua domanda, per favore vedi Cosa devo fare quando qualcuno risponde alla mia domanda?

— Glen_b -Restate Monica

2

@Carl Ho votato anche la tua risposta. L'uso dell'OP sembra supportare la nozione di come avere la stessa distribuzione standard per tutte le scelte di nella famiglia. Vediamo quale risposta accetta l'OP (se l'OP legge mai il commento di Glen_b e agisce su di esso).

Z = (X - a) / b

$Z=(X-a)/b$

X

$X$

— Dilip Sarwate,

7

Apparentemente c'è una certa confusione su cosa sia una famiglia di distribuzioni e su come contare i parametri liberi rispetto ai parametri liberi più fissi (assegnati). Queste domande sono a parte non correlate all'intento del PO e di questa risposta. Non uso la parola famiglia qui perché è confusa. Ad esempio, una famiglia secondo una fonte è il risultato della variazione del parametro di forma. @whuber afferma che una "parametrizzazione" di una famiglia è una mappa continua da un sottoinsieme di ℝ , con la sua solita topologia, nello spazio delle distribuzioni, la cui immagine è quella famiglia. $^n$ Userò la forma della parola che copre sia l'uso previsto della parolaidentificazione e conteggio della famiglia e dei parametri . Ad esempio la formulaha la forma di una formula quadratica, cioèe sela formula è ancora di forma quadratica. Tuttavia, quandola formula è lineare e la forma non è più completa abbastanza da contenere un termine di forma quadratica. Coloro che desiderano utilizzare la parola famiglia in un adeguato contesto statistico sono incoraggiati a contribuire a questa domanda separata . $x^2-2x+4$ $a_2x^2+a_1x+a_0$ $a_1=0$ $a_2=0$

Rispondiamo alla domanda "Possono avere momenti superiori diversi?". Ci sono molti esempi simili. Notiamo per inciso che la domanda sembra riguardare i PDF simmetrici, che sono quelli che tendono ad avere posizione e scala nel semplice caso a due parametri. La logica: supponiamo che ci siano due funzioni di densità con forme diverse con due parametri identici (posizione, scala). Quindi esiste un parametro shape che regola la forma oppure le funzioni di densità non hanno parametri di forma comuni e sono quindi funzioni di densità di nessuna forma comune.

Ecco un esempio di come il parametro shape figura in esso. La funzione di densità di errore generalizzata e qui , è una risposta che sembra avere una curtosi liberamente selezionabile.

Di Skbkekas - Opera propria, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6057753

Il PDF (funzione di densità "probabilità" , nota che la parola "probabilità" è superflua) è

\frac{β}{2 α Γ (\frac{1}{β})} e^{- (\frac{| x - μ |}{α})^{β}}

$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$

La media e la posizione sono , la scala è e è la forma. Si noti che è più semplice presentare PDF simmetrici, poiché questi PDF spesso hanno posizione e scala come i casi di due parametri più semplici mentre i PDF asimmetrici, come il PDF gamma , tendono ad avere forma e scala come i loro parametri di caso più semplici. Continuando con la funzione di densità dell'errore, la varianza è , l'asimmetria è e la curtosi è $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$ $0$ $\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$ . Pertanto, se impostiamo la varianza su 1, assegniamo il valore di da mentre si varia , in modo che la curtosi sia selezionabile nell'intervallo da a . $\alpha$ $\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$ $\beta>0$ $-0.601114$ $\infty$

Cioè, se vogliamo variare i momenti di ordine superiore e se vogliamo mantenere una media di zero e una varianza di 1, dobbiamo variare la forma. Ciò implica tre parametri, che in generale sono 1) la media o altrimenti la misura appropriata della posizione, 2) la scala per regolare la varianza o altra misura della variabilità e 3) la forma. PRENDONO almeno TRE PARAMETRI PER FARLO.

Nota che se sostituiamo , nel PDF sopra, otteniamo $\beta=2$ $\alpha=\sqrt{2}\sigma$

\frac{e^{- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ},

$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$

che è una normale funzione di densità della distribuzione. Pertanto, la funzione di densità di errore generalizzata è una generalizzazione della funzione di densità della distribuzione normale. Esistono molti modi per generalizzare la funzione di densità di una distribuzione normale. Un altro esempio, ma con la funzione di densità della distribuzione normale solo come valore limite e non con valori di sostituzione di fascia media come la funzione di densità di errore generalizzata, è la funzione di densità dello studente . Usando la funzione di densità di Student , avremmo una selezione piuttosto ristretta di kurtosi e è il parametro di forma perché il secondo momento non esiste per . Inoltre, df $-t$ $-t$ $\textit{df}\geq2$ $\textit{df}<2$ in realtà non è limitato a valori interi positivi, è in generale reale . Lo Student diventa solo normale nel limite , motivo per cui non ho scelto come esempio. Non è né un buon esempio né un contro esempio, e in questo non sono d'accordo con @ Xi'an e @whuber. $\geq1$ $-t$ $\textit{df}\rightarrow\infty$

Vorrei spiegarlo ulteriormente. Si possono scegliere due delle molte funzioni di densità arbitraria di due parametri per avere, ad esempio, una media di zero e una varianza di uno. Tuttavia, non avranno tutti la stessa forma. La domanda tuttavia riguarda le funzioni di densità del modulo SAME, non forme diverse. È stato affermato che quali funzioni di densità hanno la stessa forma è un incarico arbitrario in quanto si tratta di una definizione, e in quanto la mia opinione è diversa. Non sono d'accordo sul fatto che ciò sia arbitrario perché si può fare una sostituzione per convertire una funzione di densità in un'altra, oppure non si può. Nel primo caso, le funzioni di densità sono simili e se per sostituzione possiamo dimostrare che le funzioni di densità non sono equivalenti, allora quelle funzioni di densità hanno una forma diversa.

Così, utilizzando l'esempio della Student PDF, le scelte sono da considerare sia che sia una generalizzazione di un PDF normale, nel qual caso un PDF normale ha una forma ammissibile per di Student 's PDF, o no, nel qual caso dello studente 's PDF è di una forma diversa dal PDF normale e, quindi, è irrilevante alla domanda posta . $-t$ $-t$ $-t$

Possiamo discuterne in molti modi. La mia opinione è che un PDF normale è una forma sub-selezionato di di Student 's PDF, ma che un PDF normale non è un sub-selezione di un gamma PDF, anche se un valore limite di un gamma PDF può essere dimostrato di essere un normale PDF e, la mia ragione è che nel caso normale / Studente , il supporto è lo stesso, ma nel caso normale / gamma il supporto è infinito contro semi-infinito, che è l'incompatibilità richiesta . $-t$ $-t$

— Carl
fonte

6

(-1) Come è stato affermato in altri commenti, il problema è "cosa significa una famiglia di distribuzione?". Posso facilmente definire una nuova "famiglia" di distribuzioni che sono semplicemente distribuzioni t ridimensionate per avere mean = 0, sd = 1, con un singolo parametro: df. Quindi il 1o e il 2o momento sono uguali per tutto df, ma per diversi valori di df, hanno momenti più alti differenti.

— Cliff AB,

5

Hard Core, quel commento è difficile da capire, dato che il titolo stesso contiene la parola "famiglia"! Inoltre, se neghi che una famiglia sia significativa, allora la domanda non ha senso. Si prega di chiarire modificando la domanda per riflettere le vostre intenzioni.

— whuber

5

-1 perché inizi dicendo "La risposta è NO". e quindi procedi a dare un esempio che risponda efficacemente Sì (un altro esempio è dato nella risposta di kjetilbhalvorsen che hai menzionato favorevolmente). Questo non ha senso per me. Penso che la matematica qui sia chiara a tutti noi, quindi il mio voto negativo è solo per la mancanza di coerenza nella presentazione.

— ameba dice di reintegrare Monica il

3

Carl, c'è una netta incoerenza tra la domanda e i commenti di Hard Core. La domanda è esplicita: "fornire un esempio in cui due [variabili] casuali della stessa famiglia di distribuzione sono standardizzate ma ciò non si traduce in ... Variabili casuali con la stessa distribuzione." Ovviamente si intende un significato di "famiglia". Il solito significato è chiaro, nonostante ci siano varie varianti tecniche in giro, e la risposta corretta (facilmente dimostrabile) è "sì, ci sono molti esempi simili".

— whuber

4

Grazie. Chiaramente hai una buona idea di ciò di cui stai scrivendo, ma sfortunatamente il tuo post diffonde un po 'di confusione su quali potrebbero essere i significati di "distribuzione", "forma", "forma" e "parametro". Come esempio delle sottigliezze, considera una famiglia di distribuzioni creata da qualsiasi legge di distribuzione che ha un terzo momento centrale diverso da zero. La famiglia è indicizzata da due numeri reali ed è composta da tutte le leggi da . È una famiglia di dimensioni geografiche, ma le forme di queste leggi differiscono a seconda del segno di .

F

$F$

(μ, σ \neq 0)

$(\mu,\sigma\ne 0)$

x \to F (σ x + μ)

$x\to F(\sigma x+\mu)$

σ

$\sigma$

— whuber

17

Se vuoi un esempio che sia una "famiglia di distribuzione parametrica denominata ufficialmente, puoi esaminare la distribuzione gamma generalizzata, https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distribution . Questa famiglia di distribuzione ha tre parametri, quindi puoi correggere e varianza e ancora libertà di variare i momenti più alti. Dalla pagina wiki, l'algebra non sembra invitante, preferirei farlo numericamente. Per applicazioni statistiche, cerca gamlss in questo sito, che è un'estensione del gam (additivo generalizzato modelli, di per sé una generalizzazione di glm's) che hanno parametri per "posizione, scala e forma".

Un altro esempio sono le distribuzioni , estese per essere una famiglia in scala di posizione. Quindi il terzo parametro saranno i gradi di libertà, che diffideranno la forma per una posizione e una scala fisse. $t$

— kjetil b halvorsen
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1

Sebbene la distribuzione generalizzata dell'errore potrebbe essere stata una scelta migliore.

— Carl,

2

Grazie mille per la tua risposta!! Ho scelto quello di Carl perché era più dettagliato ma anche questo andava bene .. grazie mille !!!

— gioxc88,

14

C'è un numero infinito di distribuzioni con zero medio e varianza uno, quindi prendi distribuito da una di queste distribuzioni, diciamo , e da un'altra di queste distribuzioni, dice lo Studente con 54 gradi di libertà riscalati da modo che la sua varianza sia una, quindi goditi le proprietà che menzioni. Il "numero" di parametri è irrilevante per la proprietà. $\epsilon_1$ $\mathcal{N}(0,1)$ $\epsilon_2$ $t$ $\sqrt\frac{1}{3}$

X = μ + σ ϵ_{1} and Y = μ + σ ϵ_{2}

$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$

Ovviamente, se imposti ulteriori regole alla definizione di questa famiglia, come ad esempio affermando che esiste una densità fissa tale che la densità di è potresti finire con un'unica distribuzione possibile. $f$ $X$

\frac{1}{σ^{d}} f ({x - μ} / σ)

$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$

— Xi'an
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grazie per la risposta, ma penso che questo non sia quello che ho chiesto

— gioxc88,

6

Penso che lo sia perché se la famiglia di distribuzioni è definita dalla riunione di entrambe le distribuzioni di e , allora si ha una contraddizione con la proprietà. Una "famiglia" di distribuzioni è abbastanza vaga.

X

$X$

Y

$Y$

— Xi'an,

sì, in effetti è abbastanza vago, ma se leggi la mia domanda ho scritto che in questo contesto con la famiglia intendo per esempio sia Normal o entrambi Gamma e così via .. Hai fatto un esempio con uno studente normale e uno t

— gioxc88

4

Hard Core, sembra confondere il nome di una famiglia con il suo concetto . Questa risposta è eccellente e illustra bene il concetto. La tua domanda non chiede che la soluzione sia una famiglia di dimensioni locali. Se ne hai bisogno per essere uno, puoi sempre prendere questa risposta - o qualsiasi altra risposta - e prolungarla a una famiglia su scala locale consentendo traduzioni e riscalamenti arbitrari. Il punto di Xi'an sul numero di parametri è ancora valido.

— whuber

@whuber Penso che sia confuso come risposta. Student's-t da sola sarebbe una risposta migliore, piuttosto che usare la risposta estrema di e non specificarla. In effetti, è il terzo parametro.

d f = 3, \infty

$df=3,\infty$

d f

$df$

— Carl,

6

Penso che ti stia chiedendo se due variabili casuali provenienti dalla stessa famiglia di scala di posizione possano avere la stessa media e varianza, ma almeno un diverso momento superiore. La risposta è no.

Prova : lascia e come due variabili casuali. Poiché e fanno parte della stessa famiglia della scala di posizione, esiste una variabile casuale e numeri reali tali che e . Poiché e hanno la stessa media e varianza, abbiamo: $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $X$ $a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$ $X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$ $X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$ $X_1$ $X_2$

$E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$ .
$\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$ .

Se , allora con probabilità , e quindi i momenti più alti di e sono tutti uguali. Quindi possiamo supporre che . Usando questo, (2) implica che. Dal momento che e , abbiamo infatti . A sua volta, (1) sopra ora implica che . Abbiamo quindi quello: per ogni , cioè tutti i momenti di e $\operatorname{Var}[X] = 0$ $X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$ $1$ $X_1$ $X_2$ $\operatorname{Var}[X] \neq 0$ $|a_1|=|a_2|$ $a_1>0$ $a_2>0$ $a_1=a_2$ $b_1=b_2$

E [X_{1}^{k}] = E [(a_{1} X + b_{1})^{k}] = E [(a_{2} X + b_{2})^{k}] = E [X_{2}^{k}],

$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$

k

$k$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$ sono tutti uguali.

— YYZZ
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1

(+1) Non riesco a trovare difetti in questa risposta. Apparentemente qualcuno lo fa, e trovano anche difetti nei miei. Non capisco questo comportamento inspiegabile.

— Carl,

5

@Carl Questa risposta è errata, ecco perché è stata sottoposta a downgrade. Xi'an ha già fornito un controesempio.

— whuber

1

@whuber Vedi i miei commenti sotto la risposta di Xi'an. Non sono d'accordo con lui, ma non ho votato perché entrambi abbiamo diritto alla tua opinione, anche se la ritengo errata.

— Carl,

8

@Carl Dopo aver riletto questa risposta, ho bisogno di ritirare la mia valutazione originale: questa risposta è corretta (e +1 per quella), ed è corretta perché spiega chiaramente come sta interpretando la domanda originale. (In particolare, esiste un concetto comune ma ristretto di una "famiglia di dimensioni localizzate" in quanto costituito da un'unica distribuzione standard insieme a tutti i suoi traduttori e riscalamenti positivi.) Credo che la domanda originale fosse destinata a porre qualcosa di un po 'diverso; la base di tale convinzione è il riferimento a più di due parametri nel post.

— whuber

2

Mi dispiace se non sono stato molto chiaro e ti ringrazio per il tempo che hai speso per esaminare questo, ma non è quello che ti ho chiesto.

— gioxc88,

1

Poiché la domanda può essere interpretata in molti modi, dividerò questa risposta in due parti.

A: famiglie di distribuzione.
B: famiglie di distribuzione su scala locale.

Il problema con il caso A può essere facilmente risolto / dimostrato da molte famiglie con un parametro di forma.

Il problema con il caso B è più difficile poiché uno e mezzo parametri sembrano essere sufficienti per specificare posizione e scala (posizione in e scala in ) e il problema diventa se due parametri possono essere utilizzati anche per codificare (più) forme. Questo non è così banale. Possiamo facilmente creare famiglie di scale di posizione di due parametri specifici e dimostrare che non avete forme diverse, ma ciò non prova che si tratti di una regola fissa per una famiglia di scale di posizione di due parametri. $\mathbb{R}$ $\mathbb{R_{>0}}$

A: Due diverse distribuzioni della stessa famiglia di distribuzione con 2 parametri possono avere la stessa media e varianza?

La risposta è sì e può già essere mostrata usando uno degli esempi esplicitamente menzionati: la distribuzione Gamma normalizzata

Famiglia di distribuzioni gamma normalizzate

Sia con una variabile distribuita Gamma. La distribuzione (cumulativa) di è la seguente: $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ $X$ $Z$

F_{Z} (z; k) = {\begin{cases} 0 & if & z < - \sqrt{k} \\ \frac{1}{Γ (k)} γ (k, z \sqrt{k} + k) & if & z \geq - \sqrt{k} \end{cases}

$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$

dove è la funzione gamma incompleta. $\gamma$

Quindi qui è chiaramente il caso in cui diversi e (distribuzioni dalla famiglia delle distribuzioni gamma normalizzate) possono avere la stessa media e varianza (ovvero e ) ma differiscono in base al parametro (spesso indicato parametro 'forma'). Ciò è strettamente legato al fatto che la famiglia di distribuzioni gamma non è una famiglia di dimensioni di posizione. $Z_1$ $Z_2$ $\mu=0$ $\sigma=1$ $k$

B: Due diverse distribuzioni della stessa famiglia di distribuzione con scala di posizione a 2 parametri possono avere la stessa media e varianza?

Credo che la risposta sia negativa se consideriamo solo famiglie lisce (liscia: una piccola modifica nei parametri comporterà una piccola modifica della distribuzione / funzione / curva). Ma quella risposta non è così banale e quando useremmo famiglie più generiche (non regolari) allora possiamo dire di sì , sebbene queste famiglie esistano solo in teoria e non abbiano rilevanza pratica.

Generare una famiglia in scala di posizione da un'unica distribuzione tramite traduzione e ridimensionamento

Da qualsiasi singola distribuzione particolare possiamo generare una famiglia di dimensioni localizzate mediante traduzione e ridimensionamento. Se è la funzione di densità di probabilità della singola distribuzione, allora sarà la funzione di densità di probabilità per un membro della famiglia $f(x)$

f (x; μ, σ) = \frac{1}{σ} f (\frac{x - μ}{σ})

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$

Per una famiglia su scala locale che può essere generata in questo modo abbiamo:

per ogni due organi e se i mezzi e le varianze sono uguali, allora $f(x;\mu_1,\sigma_1)$ $f(x;\mu_2,\sigma_2)$ $f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

Per tutte e due le famiglie di scale di posizione dei parametri, le loro distribuzioni dei membri possono essere generate da una distribuzione a singolo membro mediante traduzione e ridimensionamento?

Quindi la traduzione e il ridimensionamento possono convertire una singola distribuzione in una famiglia di scala di posizione. La domanda è se sia vero il contrario e se ogni due parametri della famiglia della scala di posizione (dove i parametri e non devono necessariamente coincidere con la posizione e scale ) possono essere descritti da una traduzione e un ridimensionamento di un singolo membro di quella famiglia. $\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

Per particolari famiglie a scala di posizione con due parametri come la famiglia di distribuzioni normali non è troppo difficile dimostrare che possono essere generate secondo il processo sopra (ridimensionamento e traduzione di un singolo esempio).

Ci si potrebbe chiedere se sia possibile generare ogni famiglia di due parametri in scala di posizione da un singolo membro mediante traduzione e ridimensionamento. O un'affermazione contrastante: "Può una famiglia a due parametri con scala di ubicazione contenere due diverse distribuzioni di membri con la stessa media e varianza?", Per cui sarebbe necessario che la famiglia sia un'unione di più sottofamiglie generate ciascuna dalla traduzione e scaling.

Caso 1: Famiglia di distribuzioni t di studenti generalizzati, parametrizzata da due variabili

Un esempio forzato si verifica quando eseguiamo una mappatura da a ( cardinalità-di-mathbbr-e-mathbbr2 ) che consente alla libertà di utilizzare due parametri e per descrivere un'unione di più sottofamiglie che sono generato dalla traduzione e dal ridimensionamento. $R^2$ $R^3$ $\theta_1$ $\theta_2$

Usiamo la distribuzione t di Student generalizzata (tre parametri):

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

con i tre parametri modificati come segue

\begin{array}{rcl} μ & = & \tan (θ_{1}) \\ σ & = & θ_{2} \\ ν & = & ⌊ 0.5 + θ_{1} / π ⌋ \end{array}

$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$

Poi abbiamo

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

che può essere considerata una famiglia di scale di posizione a due parametri (anche se non molto utile) che non può essere generata dalla traduzione e dal ridimensionamento di un solo membro.

Caso 2: famiglie in scala di posizione generate dal ridimensionamento negativo di una singola distribuzione con inclinazione diversa da zero

Un esempio meno inventato, rispetto all'uso di questa funzione di abbronzatura, è dato da Whuber sotto i commenti della risposta di Carl. Possiamo avere una famiglia cui capovolgere il segno di mantiene invariate la media e la varianza, ma probabilmente modificando i momenti più elevati irregolari. Quindi, ciò fornisce un po 'più facilmente una famiglia di scale di posizione a due parametri in cui i membri con la stessa media e varianza possono avere momenti di ordine superiore diversi. Questo esempio di Whuber può essere suddiviso in due sottofamiglie, ciascuna delle quali può essere generata da un singolo membro mediante traduzione e ridimensionamento. $x \mapsto f(x/b + a)$ $b$

Famiglie lisce

Se proviamo a creare una singola famiglia di distribuzione a due parametri liscia (liscia: una piccola modifica nei parametri comporterà una piccola modifica della distribuzione / funzione / curva) creando in qualche modo una composizione di due o più famiglie generate dalla traduzione e il ridimensionamento, quindi ci imbattiamo in problemi per avere i due parametri che coprono sia la variazione di "media" e "varianza", sia il terzo parametro "forma". Una prova formale dovrà seguire le stesse linee della risposta alla domanda: esiste una funzione suriettiva regolare ? $f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ (dove la risposta è no nel caso di funzioni regolari , cioè infinitamente differenziabili, sebbene siano continue funzioni che farebbero il lavoro come le curve di Peano).

Intuizione: immagina che ci sarebbero alcuni parametri , che descrivono le distribuzioni in qualche famiglia di distribuzione su scala di posizione e con le quali possiamo cambiare la media e la varianza così come alcuni altri momenti, quindi dovremmo essere in grado di esprimere , , in termini di media e varianza $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $\mu$ $\sigma$

\begin{array}{rcl} θ_{1} & = & f_{θ_{1}} (μ, σ) \\ θ_{2} & = & f_{θ_{2}} (μ, σ) \end{array}

$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$

ma queste devono essere funzioni a più valori e non possono effettuare transizioni continue, i diversi valori di per un particolare e non sono continui e non saranno in grado di modellare un parametro di forma continua. $f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$ $\mu$ $\sigma$

In realtà non sono così sicuro di questa parte finale. Potremmo eventualmente usare una curva di riempimento dello spazio (come la curva di Peano, se solo sapessimo esprimere le coordinate sulla curva alle coordinate dell'ipercubo) per avere un singolo parametro completamente più funzionalità come media e varianza, senza rinunciare alla proprietà che una piccola modifica del parametro equivale a una piccola modifica della funzione ad ogni $\theta_1$ $\theta_1$ $f(x;\theta_1)$ $x$

— Sesto Empirico
fonte

1

Ho smesso di leggere dopo le definizioni iniziali perché sono così poco chiare e contraddittorie. Con "integrare" si intende ovviamente l'integrazione solo su . $x$ Per " " tuttavia, è necessario indicare il CDF e non il PDF, poiché la divisione per modifica l'integrale. Non imponendo alcuna restrizione su come possa variare con , adotti anche un concetto di "famiglia" molto più ampio del solito. Solo ciò ti consente di discutere una "mappa da a " Il problema con queste "mappe" è che non possono essere continui e non avranno alcun significato statistico.

f,

$f,$

b \neq 1

$b\ne 1$

f

$f$

θ

$\theta$

R^{2}

$R^2$

R^{3} .

$R^3.$

2

Non sto obiettando alla semplicità o al linguaggio, ma alla confusione che si sta seminando. Il problema con la tua mappa da indica perché devi imporre una struttura matematica aggiuntiva - una topologia adatta - alla famiglia. Permettere alle distribuzioni di cambiare in modo (violentemente) discontinuo con non è solo impraticabile e insignificante, probabilmente invaliderebbe metodi e teoremi utili senza una buona ragione. Ad esempio, l'MLE viene quasi sempre eseguito partendo dal presupposto che la distribuzione varia con in modo differenziabile a tratti.

R^{2} \to R^{3}

$R^2\to R^3$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

— whuber

1

Il secondo punto non è corretto: non deriva da nessuna delle ipotesi né fa parte della definizione di una famiglia in scala di posizione.

— whuber

1

È tremendamente confuso perché ora tutti i riferimenti a sono superflui. Credo che i quantificatori ora nella tua dichiarazione potrebbero non trasmettere correttamente l'idea che hai. Perché non rilasciare semplicemente e semplicemente affermare che la famiglia è composta dall'insieme di distribuzioni da per una data e tutte con ? Non c'è nemmeno bisogno di fare riferimento a mezzi e variazioni - questa è solo una distrazione dall'idea essenziale, che non richiede a di avere alcun momento.

θ_{i}

$\theta_i$

θ_{i}

$\theta_i$

x \to F (b x + a)

$x \to F(bx + a)$

F

$F$

(a, b) \in R^{2}

$(a,b)\in\mathbb{R}^2$

b > 0

$b\gt 0$

F

$F$

— whuber

1

@whuber se stai generando una famiglia in scala di posizione da un singolo esempio, sembrerebbe davvero molto più facile usare e . Qui sto comunque immaginando che abbiamo già una famiglia di curve parametrizzata da alcune alternative e e mi chiedo se sia possibile che una tale famiglia contenga più curve rispetto alle sole curve create scalando un membro con e (come nella trasformazione con la tangente). Vedrò se posso in qualche modo cambiare la formulazione (non sei d'accordo con l'idea o con la formulazione?).

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

θ_{1}

$\theta_1$

θ_{2}

$\theta_2$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— Sisto Empirico,