Varianza dei resistori in parallelo

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Supponiamo di avere una serie di resistori R, tutti distribuiti con media μ e varianza σ.

Considera una sezione di un circuito con il seguente layout: (r) || (r + r) || (R + R + R). La resistenza equivalente di ogni parte è r, 2r e 3r. La varianza di ciascuna sezione sarebbe quindi $σ^2$ , $2σ^2$ , $3σ^2$ .

Qual è la varianza nella resistenza dell'intero circuito?

Dopo aver campionato diversi milioni di punti, abbiamo scoperto che la varianza è di circa $.10286\sigma^2$ .

Come arriveremmo a questa conclusione analiticamente?

Modifica: si presume che i valori di resistenza siano distribuiti normalmente con una certa resistenza media r e varianza $σ^2$ .

probability sampling variance

— lrAndroid
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1

Non sono convinto che questo sia un modello appropriato per cominciare. Sei familiarità con la teoria di Nyquist-Johnson del rumore circuito termale? Se stai intenzionalmente facendo qualcosa di diverso, sarebbe interessante vedere la motivazione. Altrimenti, potrebbe valere la pena considerare un modello più standard. :)

— cardinale

Sì, mentre stavo scrivendo il mio tentativo di risposta, mi sono anche reso conto che il modello apparentemente non è trattabile come è stato proposto. Tuttavia, ho pensato che fosse più un problema accademico che pratico (dopo tutto fanno delle simulazioni).

— Néstor,

Mi scuso per avere il sigma come varianza, inizialmente ho usato VAR e qualcuno lo ha modificato in sigma.

— lRAndroid,

Grazie per l'aggiornamento. Sono ancora interessato alla motivazione alla base di questa domanda, se sei disposto ad aggiungere un po 'di questo alla tua domanda. :)

— cardinale

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La resistenza equivalente dell'intero circuito risolve Si presume che , per alcune variabili casuali indipendenti , centrate e con varianza . $R$

\frac{1}{R} = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{R_{i}} .

$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$

R_{i} = i μ + σ \sqrt{i} Z_{i}

$R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$

Z_{i}

$Z_i$

1

$1$

Senza ulteriori indicazioni, non è possibile calcolare la varianza di , quindi, per andare oltre, consideriamo il regime in cui Quindi, quindi dove Si vede che Inoltre, quindi, nel limite $R$

σ ≪ μ .

$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$

\frac{1}{R_{i}} = \frac{1}{i μ} - \frac{σ}{μ^{2}} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} + higher order terms,

$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$

\frac{1}{R} = \frac{a}{μ} - \frac{σ}{μ^{2}} Z + higher order terms,

$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$

a = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i} = \frac{11}{6}, Z = \sum_{i = 1}^{3} \frac{Z_{i}}{i \sqrt{i}} .

$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$

E (Z) = 0, E (Z^{2}) = b, b = \sum_{i = 1}^{3} \frac{1}{i^{3}} = \frac{251}{216} .

$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$

R = \frac{μ}{a} - \frac{σ}{a^{2}} Z + higher order terms,

$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$

σ \to 0

$\sigma\to0$ , e Questi asintotici di e possono essere generalizzati a qualsiasi numero di resistenze in parallelo, ciascuna essendo il risultato di resistenze elementari in serie, le resistenze elementari essendo indipendenti e ognuna con media e varianza . Quindi, quando , dove

E (R) \approx \frac{μ}{a} = \frac{6}{11} μ,

$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$

Var (R) \approx σ^{2} \cdot \frac{b}{a^{4}} = σ^{2} \cdot {(\frac{6}{11})}^{4} \cdot \frac{251}{216} = σ^{2} \cdot 0.10286 \dots

$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$

E (R)

$\mathrm E(R)$

Var (R)

$\text{Var}(R)$

n_{i}

$n_i$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ \to 0

$\sigma\to0$

E (R) \to \frac{μ}{a}, σ^{- 2} Var (R) \to \frac{b}{a^{4}},

$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$

a = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}}, b = \sum_{i} \frac{1}{n_{i}^{3}} .

$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$

— Did
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Non credo che la risposta esatta dipenda solo da e . Quando hai effettuato il campionamento, suppongo che tu abbia usato una certa distribuzione concreta - probabilmente una distribuzione normale? In ogni caso, possiamo calcolare la media e la varianza della resistenza del circuito in approssimazione lineare, e quindi la forma esatta della distribuzione è irrilevante. $\mu$ $\sigma^2$

La resistenza del circuito è . Nell'approssimazione lineare, la media e la varianza del reciproco di una variabile casuale con media e varianza sono rispettivamente e . Quindi abbiamo una somma di termini con mezzi , e e varianze , e , rispettivamente, che si sommano a una media di e una varianza di $\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$ $\mu$ $\sigma^2$ $1/\mu$ $\sigma^2/\mu^4$ $1/\mu$ $1/(2\mu)$ $1/(3\mu)$ $\sigma^2/\mu^4$ $\sigma^2/(8\mu^4)$ $\sigma^2/(27\mu^4)$ $\frac{11}6/\mu$ $\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$ . Quindi prendere il reciproco di ciò produce una media di e una varianza di , in accordo con il tuo risultato. $\frac6{11}\mu$ $\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

— Joriki
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Questo ovviamente presuppone che i resistori siano variabili casuali indipendenti.

@Robert: Sì (piuttosto le resistenze). Ciò è già stato assunto nel calcolo delle varianze , e nella domanda, e ha senso fisico (anche se se prendiamo tutti i resistori dallo stesso lotto di produzione, le loro resistenze saranno in qualche modo correlate ).

σ

$\sigma$

2 σ

$2\sigma$

3 σ

$3\sigma$

— Joriki,

In un vero progetto, ovviamente, le resistenze sono tutt'altro che indipendenti. In effetti, molto lavoro va nel layout per fare in modo che alcuni gruppi di elementi si rintracciano (chiamati "matching", non sorprende).

1

Stai usando ? Sono più abituato a vederlo scritto come .

σ = E (X - E X)^{2}

$\sigma = E (X-EX)^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

@ copper.hat: Hai ragione su , ovviamente - avevo adottato la notazione usata nella domanda senza pensare.

σ^{2}

$\sigma^2$

— Joriki,

5

Questo dipende dalla forma della distribuzione per la resistenza. Senza conoscere la distribuzione, non posso nemmeno dire la resistenza media, anche se penso che ci siano dei vincoli.

Quindi, Prendiamo una distribuzione che è tractible: Let tramite la deviazione standard della resistenza di un resistore. Lascia che la resistenza sia , con ogni segno che si presenta con probabilità . Questo ci dà casi da considerare, o se combiniamo alcuni casi. Naturalmente supponiamo che le resistenze siano indipendenti. $s$ $\mu \pm s$ $1/2$ $2^6 = 64$ $2 \times 3 \times 4=24$

Se scegliamo e la media è (leggermente inferiore a ) e la varianza è . Se scegliamo e , la varianza è . $\mu = 100$ $s=1$ $54.543291$ $100 \times \frac{6}{11}$ $0.102864$ $\mu = 5$ $s=1$ $0.103693$

Ecco un'espansione della serie di potenze per i rapporti tra le varianze quando la media è e la varianza è : . Quando è piccolo, il termine dominante è . $1$ $x$ $\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$ $x$ $\frac{1506}{14641} = 0.102862$

Mentre la domanda che poni tecnicamente dipende dalla distribuzione, probabilmente sei interessato a situazioni in cui la deviazione standard è piccola rispetto alla media e penso che ci sia un limite ben definito che non dipende dalla distribuzione. Linearizzare la dipendenza della resistenza del circuito in funzione delle resistenze di ciascun pezzo:

C = \frac{1}{1 / R_{1} + 1 / (R_{2} + R_{3}) + 1 / (R_{4} + R_{5} + R_{6})}

$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$

\approx \frac{6}{11} μ + \sum_{i = 1}^{6} (R_{i} - μ) \frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ)

$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$

∴ Var (C) \approx \sum_{i = 1}^{6} Var (R_{i}) (\frac{\partial C}{\partial R_{i}} (μ, μ, μ, μ, μ, μ))^{2}

$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$

Con questo circuito specifico, i derivati parziali scalati sono e $\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

(\frac{36}{121})^{2} + 2 (\frac{9}{121})^{2} + 3 (\frac{4}{121})^{2} = \frac{1506}{14641} = 0.102862

$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$

— Douglas Zare
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1

Questo mi ricorda il teorema delta multivariato, ovvero ha media e varianza rispettivamente, quindi dovrebbe avere una varianza asintotica come , dove e . La risposta finale è la stessa di @Douglas Zare e OP, ovvero 0.1028 .

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1,R_2,R_3$

μ, 2 μ, 3 μ

$\mu,2\mu,3\mu$

σ^{2}, 2 σ^{2}, 3 σ^{2}

$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$

g (R_{1}, R_{2}, R_{3}) = ((1 / R_{1}) + (1 / R_{2}) + (1 / R_{3}))^{- 1}

$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$

\nabla g (μ) Σ \nabla g (μ)^{'}

$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$

\nabla g (μ) = (\frac{36}{121}, \frac{9}{121}, \frac{4}{121})

$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$

Σ = \[(\begin{array}{ccc} . σ^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 σ^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 3 σ^{2} \end{array}) \]

$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$

σ^{2}

$\sigma^2$

— VitalStatistix,

1

Vi avverto che, come ho ragionato, questa è una risposta lunga , ma forse qualcuno può trovare qualcosa di meglio a partire dal mio tentativo (che potrebbe non essere ottimale). Inoltre, ho letto male la domanda sui PO originali e ho pensato che le resistenze fossero normalmente distribuite. Lascerò comunque la risposta, ma questa è una supposizione di fondo.

1. Ragionamento fisico del problema

Il mio ragionamento è il seguente: ricordo che, per i resistori che sono in parallelo, la resistenza equivalente è data da: $R_{eq}$

R_{e q}^{- 1} = \sum_{i}^{N} \frac{1}{R_{i}},

$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$

dove sono le resistenze di ogni parte del circuito. Nel tuo caso, questo ci dà $R_i$

R_{e q} = {(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}})}^{- 1}, (*)

$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$ dove è la parte del circuito con 1 resistenza, e quindi ha una distribuzione normale con media e varianza , e con lo stesso ragionamento è il la resistenza equivalente della parte del circuito con due resistenze e, infine, è la resistenza equivalente della parte del circuito con tre resistenze. Dovresti trovare la distribuzione di e da lì ottenere la sua varianza.

R_{1}

$R_1$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

R_{2} \sim N (2 μ, 2 σ^{2})

$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$

R_{3} \sim N (3 μ, 3 σ^{2})

$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$

R_{e q}

$R_{eq}$

2. Ottenere la distribuzione di $R_{eq}$

Un modo per trovare la distribuzione è notare che: Da qui, notiamo anche che possiamo scrivere (che è stato ottenuto tramite il Teorema di Bayes), che, assumendo l'indipendenza tra , e (che è fisicamente plausibile), può essere scritta come Sostituendo questo in e notando che un'altra conseguenza dell'indipendenza tra le tre resistenze è che

p (R_{e q}) = \int p (R_{e q}, R_{1}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} . (1)

$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}, R_{3}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3})

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$

R_{1}

$R_1$

R_{2}

$R_2$

R_{3}

$R_3$

p (R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) .

$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$

(1)

$(1)$

p (R_{1} | R_{e q}, R_{2}, R_{3}) = p (R_{1} | R_{e q})

$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$ , otteniamo: nostro ultimo problema è quindi trovare , ovvero la distribuzione del . Questo problema è analogo a quello che abbiamo trovato qui, tranne per il fatto che ora sostituisci in eq. per una costante, diciamo, . Seguendo gli stessi argomenti di cui sopra, puoi trovare che Apparentemente il resto è sostituendo le distribuzioni conosciute, tranne un piccolo problema: la distribuzione di può essere ottenuta da notando che

p (R_{e q}) = \int p (R_{1} | R_{e q}) p (R_{2} | R_{e q}) p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{1} d R_{2} d R_{3} = \int p (R_{e q} | R_{3}) p (R_{3}) d R_{3} . (2)

$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$

p (R_{e q} | R_{3})

$p(R_{eq}|R_3)$

R_{e q} | R_{3}

$R_{eq}|R_3$

R_{3}

$R_3$

(*)

$(*)$

r_{3}

$r_3$

p (R_{e q} | R_{3}) = \int p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) p (R_{2}) d R_{2} . (3)

$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

(*)

$(*)$

X_{1}

$X_1$ è gaussiana, quindi, è essenzialmente necessario trovare la distribuzione della variabile casuale dove e sono costanti, e è gaussiano con media e varianza . Se i miei calcoli sono corretti, questa distribuzione è: dove, quindi la distribuzione di sarebbe

W = {(\frac{1}{X} + a + b)}^{- 1},

$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

p (W) = \frac{1}{[1 - W (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (W) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$

X (W) = \frac{1}{W^{- 1} - a - b},

$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$

R_{e q} | R_{2}, R_{3}

$R_{eq}|R_2,R_3$

p (R_{e q} | R_{2}, R_{3}) = \frac{1}{[1 - R_{e q} (a + b)]^{2}} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} exp (- \frac{X (R_{e q}) - μ}{2 σ^{2}}),

$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$ dove e . Il fatto è che non so se questo sia analiticamente tracciabile al fine di risolvere l'integrale nell'equazione , che poi ci porterà a risolvere il problema sostituendo il suo risultato nell'equazione . Almeno per me in questo momento della notte non lo è.

a = 1 / R_{2}

$a=1/R_2$

b = 1 / R_{3}

$b=1/R_3$

(3)

$(3)$

(2)

$(2)$

— Néstor
fonte

Stai assumendo una distribuzione normale, anche se la resistenza non può essere negativa? La mia ipotesi è che questo farà divergere la varianza del circuito.

— Douglas Zare,

1

Lo so, anche questo mi ha infastidito, ma in pratica dipende davvero dai valori di e . Se e , allora possiamo "salvare" il modello. In condizioni normali, la dispersione di una resistenza non è molto elevata, quindi l'ultima ipotesi è chiaramente soddisfatta. Questo è stato qualcosa che inizialmente mi ha infastidito quando le persone hanno modellato l'altezza come una normale variabile casuale, ma per lo stesso motivo che ho dato qui, alcune persone qui a Stack-Exchange mi hanno fatto sentire bene :-).

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ >> 0

$\mu>>0$

μ >> σ

$\mu>>\sigma$

— Néstor,

Hmm, penso che modellare l'altezza come normale sia così male che la uso come esempio di una distribuzione che ovviamente non è normale. Suppongo che potrebbe non essere terribile se hai una popolazione di uomini adulti sani con lo stesso background genetico. Tuttavia, vorrei sapere da un biologo che va bene. Il ragionamento che ho sentito spesso dire che la dimensione di ogni osso è indipendente è una totale assurdità.

— Douglas Zare,

Mi sono appena reso conto che le resistenze non erano normalmente distribuite (potrei giurare di averle lette sulla risposta dei PO originali, ma penso che fosse solo la mia immaginazione).

— Néstor,