Quali forme distributive producono l '"aspettativa pitagorica"?

Consenti a e essere variabili casuali continue indipendenti generate dalla stessa forma distributiva non specificata ma con tolleranza per valori di parametro diversi. Sono interessato a trovare un modulo di distribuzione parametrica per il quale valga la seguente probabilità di campionamento per tutti i valori dei parametri consentiti:$X \sim \text{Dist}(\theta_X)$$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

La mia domanda: qualcuno può dirmi una forma distributiva continua per cui questo vale? Ci sono condizioni generali (non banali) che portano a questo?

I miei pensieri preliminari: se moltiplichi entrambi i parametri per qualsiasi costante diversa da zero, allora la probabilità rimane invariata, quindi ha senso che sia una sorta di parametro di scala.$\theta$

Se prendiamo due variabili casuali esponenziali otteniamo che e Ora, se quindiP ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ X∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

Una domanda più interessante è se questo è l'unico caso possibile di distribuzione per cui funziona. (Ad esempio, questo è l'unico elemento della famiglia Gamma per cui funziona.) Supponendo una struttura familiare di scala, una necessaria e sufficiente sulla densità sottostante di e è che X Y ∫ ∞ 0$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

Ma la risposta generica è no: come notato nella risposta di @soakley , questo funziona anche per Weibulls, il che non è una sorpresa poiché per tutti (e i Weibull sono poteri di esponenziali). Una classe più generale di esempi è quindi fornita da per tutte le funzioni strettamente crescenti , dove sono esponenziali come sopra, da allora abbiamo

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

Se è Weibull e è un Weibull indipendente , dove alpha è il parametro di forma e le beta sono parametri di scala, allora è noto che$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Questo può essere derivato seguendo lo stesso approccio dato nella risposta di Xi'an.

Ora lasciate sia per e . Se ha il parametro di scala e ha il parametro di scala abbiamo$\alpha=2$$X$$Y$$X$$\theta_X$$Y$$\theta_Y,$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$