Una distribuzione articolare 3D può essere ricostruita da marginali 2D?

Supponiamo di conoscere p (x, y), p (x, z) e p (y, z), è vero che la distribuzione congiunta p (x, y, z) è identificabile? Cioè, c'è solo una possibile p (x, y, z) che ha sopra i margini?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
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Correlati: è possibile avere una coppia di variabili casuali gaussiane per le quali la distribuzione congiunta non è gaussiana? (Ciò riguarda i margini del giunto 2D contro 1D, ma la risposta e l'intuizione sono in definitiva le stesse, inoltre le immagini nella risposta di @ Cardinal sono belle.)

— gung - Reinstalla Monica

@gung La relazione è alquanto remota. La sottigliezza dietro questa domanda è il pensiero che una copula ci mostri come sviluppare distribuzioni bivariate con determinati margini. Ma se specifichiamo tre marginali bivariati per una distribuzione trivariata, ci devono essere limiti addizionali abbastanza severi su quella distribuzione trivariata: i marginali univariati devono essere coerenti. La domanda quindi è se questi vincoli sono sufficienti per definire la distribuzione trivariata. Questo lo rende intrinsecamente una domanda più che bidimensionale.

— whuber

@whuber, ho capito che stai dicendo che i marginali 2D sono più vincolanti dei marginali 1D, il che è ragionevole. Il mio punto è che in entrambi la risposta è che i marginali non possono limitare sufficientemente la distribuzione congiunta, e che la risposta del Cardinale rende la questione molto facile da vedere. Se pensi che questa sia troppa distrazione, posso eliminare questi commenti.

— gung - Ripristina Monica

@gung Sto cercando di dire qualcosa di completamente diverso e non è facile da vedere (a meno che tu non sia molto bravo nelle visualizzazioni 3D). Ricordi l'immagine di copertina di Godel, Escher, Bach di Hofstadter ? (È facilmente reperibile da Google; forse potrò espandere la mia risposta per includerla.) L'esistenza di quei due solidi diversi con identiche serie di proiezioni sugli assi delle coordinate è abbastanza sorprendente. Questo cattura l'idea che un set completo di "viste" ortogonali 2D di un oggetto 3D non determina necessariamente l'oggetto. Questo è il nocciolo della questione.

— whuber

@Gung mi permetta di provare ancora una volta. Sì, l'idea che i marginali non determinino completamente una distribuzione è comune in entrambi i casi. La complicazione in questo - quello che credo lo rende così diverso dall'altro - è che i marginali nella situazione attuale non sono affatto indipendenti: ogni marginale 2D determina due marginali 1D e una forte relazione tra quelli marginali. Concettualmente, quindi, questa domanda potrebbe essere rifusa come "perché le dipendenze dei marginali 2D non sono " transitive "o" cumulative "nel senso di determinare la distribuzione 3D completa?"

— whuber

Risposte:

No. Forse più semplici preoccupazioni controesempio la distribuzione di tre indipendenti variabili , per cui tutte le otto possibili risultati da attraverso sono equiprobabili. Questo rende uniformi tutte e quattro le distribuzioni marginali su $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Considera le variabili casuali che sono distribuite uniformemente sull'insieme . Questi hanno gli stessi marginali di $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

La copertina di Godel, Escher, Bach di Douglas Hofstadter suggerisce le possibilità.

Le tre proiezioni ortogonali (ombre) di ciascuno di questi solidi sui piani di coordinate sono le stesse, ma i solidi ovviamente differiscono. Sebbene le ombre non siano la stessa cosa delle distribuzioni marginali, funzionano in un modo piuttosto simile per limitare, ma non determinare completamente , l'oggetto 3D che le proietta.

— whuber
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Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

Nello stesso spirito della risposta di Whuber,

$U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ sono un esempio di variabili casuali normali standard indipendenti a coppie ma non reciprocamente indipendenti. Vedi questa mia risposta per maggiori dettagli.

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— Dilip Sarwate
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In pratica stai chiedendo se la ricostruzione CAT è possibile usando solo immagini lungo i 3 assi principali.

Non è ... altrimenti è quello che farebbero. :-) Guarda la trasformazione del Radon per ulteriori pubblicazioni.

— user541686
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Mi piace l'analogia. Tuttavia, due aspetti sono preoccupanti. Uno è la logica: solo perché la trasformazione di Radon (o qualche altra tecnica) utilizza più dati di quanto i tre marginali non implicano logicamente che ha davvero bisogno di tutti quei dati. Un altro problema è che le scansioni CT sono intrinsecamente bidimensionali: ricostruiscono una fetta del corpo solido per fetta. (È vero che la trasformazione del Radon è definita in tre e più alte dimensioni.) Quindi non arrivano davvero al nocciolo della questione: sappiamo già che i marginali univariati non sono sufficienti per ricostruire una distribuzione 2D.

— whuber

@whuber: Penso che tu abbia frainteso quello che stavo dicendo ... e il 2D vs 3D è un'aringa rossa. Stavo cercando di dire che l'inverso della trasformata di Radon richiede la piena integrale per la sua inversione (cioè se si letteralmente appena guardi la formula di inversione, si vede l'inversione richiede un integrale su tutti i punti di vista, non è una somma su d angoli). La scansione CAT è stata solo per aiutare l'OP a vedere che è lo stesso problema di CT.

— user541686

È qui che la logica si rompe: non è lo stesso problema del CT. La tua argomentazione suona come un analogo di "ogni veicolo che vedo sulla strada utilizza almeno quattro ruote. Pertanto, il trasporto via terra con meno di quattro ruote è impossibile, perché se fosse possibile, le persone userebbero meno ruote per risparmiare sui pneumatici. Se ne dubiti, guarda i progetti per un'auto. " Per inciso, la trasformazione implementata in uno scanner CT non si integra su tutti gli angoli: la misura dell'insieme di angoli che utilizza è zero!

— whuber

@whuber: dimentica la cosa CT per un momento. Sei d'accordo con il resto della logica?

— user541686