La teoria della probabilità è lo studio di funzioni non negative che si integrano / sommano a una?

Questa è probabilmente una domanda sciocca, ma la teoria della probabilità è lo studio di funzioni che si integrano / sommano a una?

MODIFICARE. Ho dimenticato la non negatività. Quindi la teoria della probabilità è lo studio di funzioni non negative che si integrano / sommano a una?

A un livello puramente formale, si potrebbe chiamare la teoria della probabilità lo studio degli spazi di misura con la misura totale uno, ma sarebbe come chiamare la teoria dei numeri lo studio delle stringhe di cifre che terminano

- dagli argomenti di Terry Tao nella teoria delle matrici casuali .

Penso che questa sia la cosa davvero fondamentale. Se abbiamo uno spazio di probabilità e una variabile casuale con la misura pushforward , allora il motivo una densità integra con uno perché . E questo è più fondamentale di pdfs vs pmfs.X : Ω → R P X : = P ∘ X - 1 f = d P $(\Omega, \mathscr F, P)$$X : \Omega \to \mathbb R$$P_X := P \circ X^{-1}$ P(Ω)=$f = \frac{\text d P_X}{\text d\mu}$$P(\Omega) = 1$

Ecco la prova:

Questo è quasi una riformulazione della risposta di AdamO (+1) perché tutti i CDF sono càdlàg, e c'è una relazione uno a uno tra l'insieme dei CDF su e l'insieme di tutte le misure di probabilità su , ma poiché il CDF di un camper è definito in termini di distribuzione, considero gli spazi di probabilità come il luogo in cui "iniziare" con questo tipo di sforzo. ( R , B$\mathbb R$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Sto aggiornando per approfondire la corrispondenza tra CDF e misure di probabilità e come entrambe sono risposte ragionevoli per questa domanda.

Iniziamo con due misure di probabilità e analizzando i CDF corrispondenti. Concludiamo invece iniziando con un CDF e osservando la misura da esso indotta.

Sia e misure di probabilità su e e siano i rispettivi CDF (ovvero e similmente per ) e rappresenterebbero entrambi due misure pushforward di variabili casuali (cioè distribuzioni), ma in realtà non importa da dove provengano.R ( R , B ) F Q F R F Q ( a ) = Q ( ( - ∞ , a ] ) R Q $Q$$R$$(\mathbb R, \mathbb B)$$F_Q$$F_R$$F_Q(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$R$$Q$$R$

L'idea chiave è questa: se e concordano su una raccolta abbastanza ricca di insiemi, allora concordano generata da quegli insiemi. Intuitivamente, se abbiamo una raccolta ben educata di eventi che, attraverso un numero numerabile di complementi, intersezioni e sindacati formano tutti , allora concordare su tutti questi set non lascia spazio a discordare su qualsiasi Borel impostato.R σ $Q$$R$$\sigma$$\mathbb B$

Formalizziamolo. Let e let , cioè è il sottoinsieme di su cui e concordano (e sono definiti). Nota che stiamo permettendo loro di accordarsi su insiemi non di Borel poiché come definito isn 't necessariamente un sottoinsieme di . Il nostro obiettivo è quello di dimostrare che .L = { A ⊆ R : Q ( A ) = R ( A ) } L P ( R ) Q R L B B ⊆ $\mathscr S = \{(-\infty, a] : a \in \mathbb R\}$$\mathcal L = \{A \subseteq \mathbb R : Q(A) = R(A)\}$$\mathcal L$$\mathcal P(\mathbb R)$$Q$$R$$\mathcal L$$\mathbb B$$\mathbb B \subseteq \mathcal L$

Si scopre che (la -algebra generata da ) è in realtà , quindi speriamo che sia una raccolta sufficientemente grande di eventi che se ovunque su allora sono costretti a essere uguale su tutti .σ S B S Q = R S $\sigma(\mathscr S)$$\sigma$$\mathscr S$$\mathbb B$$\mathscr S$$Q = R$$\mathscr S$$\mathbb B$

Si noti che è chiuso sotto intersezioni finite e che è chiuso sotto complementi e intersezioni disgiunte numerabili (questo segue da -additivity). Ciò significa che è un -system e è un -system . Con il - teorema abbiamo quindi che . Gli elementi diL σ S π L λ π λ σ ( S ) = B ⊆ L S S Q R S B ∈ $\mathscr S$$\mathcal L$$\sigma$$\mathscr S$$\pi$$\mathcal L$$\lambda$$\pi$$\lambda$$\sigma(S) = \mathbb B \subseteq \mathcal L$$\mathscr S$non sono affatto complessi come un insieme di Borel arbitrario, ma poiché qualsiasi insieme di Borel può essere formato da un numero numerabile di complementi, unioni e intersezioni di elementi di , se non c'è un singolo disaccordo tra e su elementi di allora questo sarà seguito attraverso non essendovi disaccordo su qualsiasi .$\mathscr S$$Q$$R$$\mathscr S$$B \in \mathbb B$

Abbiamo appena dimostrato che se allora (su ), ciò significa che la mappa da a è un'iniezione.$F_Q = F_R$$Q = R$$\mathbb B$$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P := \{P : P \text { is a probability measure on } (\mathbb R, \mathbb B)\}$$\mathcal F := \{F : \mathbb R \to \mathbb R : F \text { is a CDF}\}$

Ora, se vogliamo pensare di andare nella direzione opposta, vogliamo iniziare con un CDF e mostrare che esiste una misura di probabilità unica tale che . in questo modo stabilire che la nostra mappatura è in realtà una corrispondenza biunivoca. per questa direzione, definiamo , senza alcun riferimento alla probabilità o misure.$F$$Q$$F(a) = Q\left((-\infty, a]\right)$$Q \mapsto F_Q$$F$

Definiamo innanzitutto una funzione di misura Stieltjes come una funzione tale che$G : \mathbb R \to \mathbb R$

1. $G$ è non decrescente
2. $G$ è continuo a destra

(e nota come l'essere càdlàg deriva da questa definizione, ma a causa del vincolo non decrescente aggiuntivo "la maggior parte" delle funzioni di càdlàg non sono funzioni di misura di Stieltjes).

Si può dimostrare che ogni funzione Stieltjes induce una misura unica su definita da (vedi ad esempio Probabilità di Durrett e Processi casuali per dettagli su questo.) Ad esempio, la misura di Lebesgue è indotta da .μ ( R , B ) μ ( ( a , b ] ) = G ( b ) - G ( a ) G ( x ) = $G$$\mu$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Ora notando che un CDF è una funzione Stieltjes con le proprietà aggiuntive che e , possiamo applicare quel risultato per mostrare che per ogni CDF otteniamo una misura unica su definita da $F$$\lim_{x\to-\infty} F(x) := F(-\infty) = 0$$\lim_{x\to\infty} F(x) := F(\infty) = 1$$F$$Q$$(\mathbb R, \mathbb B)$

Nota come e quindi è una misura di probabilità ed è esattamente quella che avremmo usato per definire se stessimo andando nella direzione opposta.$Q\left((-\infty, a]\right) = F(a) - F(-\infty) = F(a)$$Q\left((-\infty, -\infty]\right) = F(\infty) - F(-\infty) = 1$$Q$$F$

Tutti insieme ora abbiamo visto che la mappatura è 1-1 e sul modo che hanno davvero una corrispondenza biunivoca tra e . Riportando questo alla domanda reale, questo dimostra che potremmo sostenere in modo equivalente CDF o misure di probabilità come il nostro oggetto di cui dichiariamo la probabilità di essere lo studio (pur riconoscendo che si tratta di uno sforzo un po 'facetious). Personalmente preferisco ancora spazi di probabilità perché sento che la teoria scorre più naturalmente in quella direzione, ma i CDF non sono "sbagliati".$Q \mapsto F_Q$$\mathscr P$$\mathcal F$

No; la distribuzione Cantor è proprio un controesempio. È una variabile casuale, ma non ha densità. Ha una funzione di distribuzione, tuttavia. Direi, quindi, che la teoria della probabilità è lo studio delle funzioni di càdlàg , compreso il Cantor DF, che ha lasciato i limiti di 0 e i limiti di destra di 1.

Sono sicuro che otterrai buone risposte, ma ti darò una prospettiva leggermente diversa qui.

Potresti aver sentito i matematici dire che la fisica è praticamente matematica, o solo un'applicazione della matematica alle leggi più elementari della natura. Alcuni matematici (molti?) Credono davvero che sia così. L'ho sentito più volte all'università. A questo proposito stai ponendo una domanda simile, anche se non così ampia come questa.

Il fisico di solito non si preoccupa nemmeno di rispondere a questa affermazione: è troppo ovvio per loro che non è vero. Tuttavia, se provi a rispondere, diventa chiaro che la risposta non è così banale, se vuoi renderla convincente.

La mia risposta è che la fisica non è solo un mucchio di modelli, equazioni e teorie. È un campo con una propria serie di approcci, strumenti, euristica e modi di pensare. Questo è uno dei motivi per cui, sebbene Poincarese abbia sviluppato la teoria della relatività prima di Einstein, non si è reso conto di tutte le implicazioni e non ha perseguito tutti i problemi. Einstein l'ha fatto, perché era un fisico e ha capito subito cosa significasse. Non sono un fan del ragazzo, ma il suo lavoro sul moto browniano è un altro esempio di come un fisico costruisce un modello matematico. Quel documento è sorprendente, ed è pieno di intuizione e tracce di pensiero che sono inequivocabilmente occhi della fisica.

Quindi, la mia risposta è che anche se la probabilità avesse a che fare con il tipo di funzioni che hai descritto, non sarebbe comunque stato lo studio di quelle funzioni. Né è una teoria delle misure applicata ad alcune sottoclassi di misure. La teoria della probabilità è il campo distinto che studia le probabilità, è collegata a un mondo naturale attraverso il decadimento radioattivo e la meccanica quantistica e i gas, ecc. Se accade in modo che alcune funzioni sembrino adatte a modellare le probabilità, allora le useremo e studieremo le loro anche proprietà, ma mentre lo facciamo, terremo d'occhio il premio principale: le probabilità.

Bene, parzialmente vero, manca una seconda condizione. Le probabilità negative non hanno senso. Pertanto, queste funzioni devono soddisfare due condizioni:

• Distribuzioni continue:

  $$\int_{\mathcal{D}}f(x) dx = 1 \quad \text{and} \quad f(x)>0 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

• Distribuzioni discrete:

  $$\sum_{x \in \mathcal{D}}P(x) = 1 \quad \text{and} \quad 0<P(x) \leq 1 \; \forall x \in \mathcal{D}$$

Dove è il dominio in cui è definita la distribuzione di probabilità.$\mathcal{D}$

Direi di no, non è questa la teoria della probabilità fondamentalmente, ma la direi per ragioni diverse rispetto alle altre risposte.

Fondamentalmente, direi, la teoria della probabilità è lo studio di due cose:

1. Processi stocastici e

2. Inferenza bayesiana.

I processi stocastici includono cose come lanciare dadi, tirare palle da urne, ecc., Nonché i modelli più sofisticati trovati in fisica e matematica. L'inferenza bayesiana è un ragionamento sotto incertezza, usando le probabilità per rappresentare il valore di quantità sconosciute.

Queste due cose sono più strettamente correlate di quanto potrebbero apparire a prima vista. Uno dei motivi per cui possiamo studiarli sotto lo stesso ombrello è che aspetti importanti di entrambi possono essere rappresentati come funzioni non negative che si sommano / si integrano in uno. Ma la probabilità non è solo lo studio di quelle funzioni, ma anche la loro interpretazione in termini di processi casuali e inferenza ne è una parte importante.

Ad esempio, la teoria della probabilità include concetti come probabilità condizionali e variabili casuali e quantità come l'entropia, l'informazione reciproca e l'aspettativa e la varianza delle variabili casuali. Mentre uno potrebbe definire queste cose puramente in termini di funzioni non negative normalizzate, la motivazione per questo sembrerebbe piuttosto strana senza l'interpretazione in termini di processi casuali e inferenza.

Inoltre, a volte si incontrano concetti nella teoria della probabilità, in particolare dal lato dell'inferenza, che non possono essere espressi in termini di una funzione non negativa che si normalizza a uno. I cosiddetti "priori impropri" vengono in mente qui, e AdamO ha dato alla distribuzione Cantor come un altro esempio.

Vi sono certamente alcune aree della teoria della probabilità in cui l'interesse principale è nelle proprietà matematiche delle funzioni non negative normalizzate, per le quali i due domini applicativi che ho citato non sono importanti. In questo caso, spesso la chiamiamo teoria della misura piuttosto che teoria della probabilità. Ma la teoria della probabilità è anche - anzi, direi per lo più - un campo applicato e le applicazioni delle distribuzioni di probabilità sono di per sé una componente non banale del campo.