Quali sono alcune distribuzioni sul probabilità simplex?

Sia il simplex di probabilità della dimensione K - 1 , ovvero x ∈ Δ K è tale che x i ≥ 0 e ∑ i x i = 1 .$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$$\sum_i x_i = 1$

Quali distribuzioni che sono frequentemente (o conosciute o definite in passato) su esistono?$\Delta_{K}$

Chiaramente, ci sono le distribuzioni Dirichlet e Logit-Normal. Ci sono altre distribuzioni che emergono naturalmente in questo contesto?

Questo è studiato nell'analisi dei dati compositivi, c'è un libro di Aitchison: L'analisi statistica dei dati composizionali .

Definisci il simplex con

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Nota che usiamo l'indice $n$ per indicare la dimensione! Definisci la media geometrica di un elemento del simplex,$x$ come$\tilde{x}$ . Quindi possiamo definire la trasformazione logratio (introdotta da Aitchison) come $x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$ . è su ${\mathbb R}^n$, quindi ho un inverso che ti lascio calcolare (ci sono anche altre versioni di questa trasformazione che possono essere utilizzate, che ha forse proprietà matematiche migliori, ne parleremo più avanti).

${\mathbb R}^n$${\mathbb R}^n$

Aumenterò questo post in seguito con alcuni esempi e maggiori dettagli sulle trasformazioni del rapporto log.