La stazionarietà viene preservata sotto una combinazione lineare?

Immagina di avere due processi di serie temporali, che sono fissi, producendo: .$x_t,y_t$

È , stazionaria anche? ∀ α , β ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato.

Direi di sì, dal momento che ha una rappresentazione MA.

Forse sorprendentemente, questo non è vero. (L'indipendenza delle due serie storiche lo renderà vero, tuttavia.)

Capisco che "stabile" significa stazionario, perché quelle parole sembrano essere usate in modo intercambiabile in milioni di risultati della ricerca, incluso almeno uno sul nostro sito .

Per un controesempio, sia una serie temporale stazionaria non costante per la quale ogni è indipendente da , e le cui distribuzioni marginali sono simmetriche attorno a . DefinireX t X s s ≠ t , $X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

Queste trame mostrano parti delle tre serie storiche discusse in questo post. stato simulato come una serie di disegni indipendenti da una distribuzione normale standard.$X$

Per dimostrare che è stazionario, dobbiamo dimostrare che la distribuzione congiunta di per qualsiasi non dipende da . Ma questo deriva direttamente dalla simmetria e dall'indipendenza . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , … , Y s + t n ) t 1 < t 2 < ⋯ < t n s X $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

Questi grafici a dispersione ritardati (per una sequenza di 512 valori di ) illustrano l'affermazione secondo cui le distribuzioni bivariate congiunte di sono come attese: indipendenti e simmetriche. (Un "diagramma di dispersione ritardato" visualizza i valori di rispetto a ; vengono visualizzati i valori di .)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , $Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

Tuttavia, scegliendo , abbiamo$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

anche per ed altrimenti$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

Poiché non è costante, ovviamente questi due espressioni hanno distribuzioni differenti per ogni e , dove la serie non è fermo. I colori nella prima figura evidenziano questa non stazionarietà in distinguendo i valori zero dal resto.t t + 1 ( X + Y ) /$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Considera il processo bidimensionale

$$w_t = (x_t, y_t)$$

Se è strettamente stazionario, o in alternativa, se i processi e sono congiuntamente strettamente stazionario , allora un processo costituite da una funzione misurabile sarà anche strettamente stazionario.( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2 → $(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

Nell'esempio di @ whuber abbiamo

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

Per esaminare se questo è strettamente stazionario, dobbiamo prima ottenere la sua distribuzione di probabilità. Supponiamo che le variabili siano assolutamente continue. Per alcuni , abbiamo c ∈ $w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

Seguendo l'esempio di whuber, i due rami sono distribuzioni di probabilità diverse perché ha una distribuzione simmetrica attorno allo zero. $x_t$

Ora per esaminare la rigidità stazionaria, sposta l'indice di un numero intero . abbiamo$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

Per rigorosa stazionarietà, dobbiamo avere

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

E non abbiamo questa uguaglianza , perché, diciamo, se è pari e è dispari, allora è dispari, nel qual caso$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

mentre

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

Quindi non abbiamo una stretta comune , e quindi non abbiamo garanzie su cosa accadrà a una funzione di . $f(x_t,y_t)$

Devo sottolineare che la dipendenza tra e è una condizione necessaria ma non sufficiente per la perdita di una rigorosa stazionarietà. È il presupposto aggiuntivo della dipendenza di dall'indice che fa il lavoro.$x_t$$y_t$$y_t$

Ritenere

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

Se si esegue il lavoro precedente per si troverà qui la stretta stazionarietà rigorosa.$(q_t)$

Questa è una buona notizia perché per un processo dipendere dall'indice ed essere rigorosamente stazionari non è tra i presupposti di modellizzazione che dobbiamo fare molto spesso. In pratica, quindi, se abbiamo una stazionarietà rigorosa marginale, ci aspettiamo anche una stazionarietà rigorosa anche in presenza di dipendenza (anche se ovviamente dovremmo verificare).

Direi di sì, dal momento che ha una rappresentazione MA.

Un'osservazione Penso che avere una rappresentazione MA implichi una debole stazionarietà, non sono sicuro che implichi una forte stazionarietà.