Condizioni per comportamento ciclico del modello ARIMA


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Sto cercando di modellare e prevedere una serie temporale ciclica piuttosto che stagionale (cioè ci sono modelli stagionali, ma non con un periodo fisso). Questo dovrebbe essere possibile fare usando un modello ARIMA, come menzionato nella Sezione 8.5 delle Previsioni: principi e prassi :

Il valore di è importante se i dati mostrano cicli. Per ottenere previsioni cicliche, è necessario disporre di insieme ad alcune condizioni aggiuntive sui parametri. Per un modello AR (2), il comportamento ciclico si verifica se .pp2ϕ12+4ϕ2<0

Quali sono queste condizioni aggiuntive sui parametri nel caso generale ARIMA (p, d, q)? Non sono riuscito a trovarli da nessuna parte.


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Hai mai esaminato le radici complesse del polinomio ? Sembra che questo possa essere ciò a cui si riferisce la citazione. ϕ(B)
Jason,

Risposte:


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Qualche intuizione grafica

Nei modelli AR , il comportamento ciclico proviene da radici coniugate complesse al polinomio caratteristico. Per prima cosa intuizione, ho tracciato di seguito le funzioni di risposta all'impulso a due modelli AR (2) di esempio.

  1. Un processo persistente con radici complesse.
  2. Un processo persistente con radici reali.

Per , Le radici del polinomio caratteristico sono dove sono autovalori della matrice che definisco di seguito. Con un autovelox coniugato complesso e , la controlla lo smorzamento (dove ) e controlla la frequenza dell'onda del coseno.j=1,p1λjλ1,,λpAλ=reiωtλ¯=reiωtrr[0,1)ω

Esempio dettagliato di AR (2)

Supponiamo di avere l'AR (2):

yt=ϕ1yt1+ϕ2yt2+ϵt

È possibile scrivere qualsiasi AR (p) come VAR (1) . In questo caso, la rappresentazione VAR (1) è:

[ytyt1]Xt=[ϕ1ϕ210]A[yt1yt2]Xt1+[ϵt0]Ut
matrice governa la dinamica di e quindi . L'equazione caratteristica della matrice è: Gli autovalori di sono: Gli autovettori di sono: AXtytA
λ2ϕ1λϕ2=0
A
λ1=ϕ1+ϕ12+4ϕ22λ2=ϕ1ϕ12+4ϕ22
A
v1=[λ11]v2=[λ21]

Si noti che . Formando la decomposizione autovalore e sollevando alla esima potenza. E[Xt+kXt,Xt1,]=AkXtAk

Ak=[λ1λ211][λ1k00λ2k][1λ1λ2λ2λ1λ21λ1λ2λ1λ1λ2]

Un vero autovalore porta al decadimento quando si alza . Autovalori con componenti immaginarie diverse da zero portano a un comportamento ciclico.λλk

Autovalori con caso di componente immaginario:ϕ12+4ϕ2<0

Nel contesto AR (2), abbiamo autovalori complessi se . Poiché è reale, devono venire in coppie che sono coniugati complessi tra loro.ϕ12+4ϕ2<0A

Dopo il capitolo 2 di Prado e West (2010), lascia che

ct=λλλ¯ytλλ¯λλ¯yt1

Puoi mostrare la previsione è data da:E[yt+kyt,yt1,]

E[yt+kyt,yt1,]=ctλk+c¯tλ¯k=atrkcos(ωk+θt)

Parlando liberamente, aggiungendo i coniugati complessi si annulla la loro componente immaginaria lasciandoti con una singola onda di coseno smorzata nello spazio dei numeri reali. (Nota che dobbiamo avere per la stazionarietà.)0r<1

Se vuoi trovare , , , , inizia utilizzando la formula di Eulero che , possiamo scrivere:rωatθtreiθ=rcosθ+rsinθ

λ=reiωλ¯=reiωr=|λ|=ϕ2
ω=atan2(imagλ,realλ)=atan2(12ϕ124ϕ2,12ϕ1)

at=2|ct|θt=atan2(imagct,realct)

Appendice

Nota Avvertenza terminologica confusa! Correlare il polinomio caratteristico di A con il polinomio caratteristico di AR (p)

Un altro trucco delle serie temporali consiste nell'utilizzare l' operatore lag per scrivere l'AR (p) come:

(1ϕ1Lϕ2L2ϕpLp)yt=ϵt

Sostituisci l'operatore lag con alcune variabili e le persone spesso fanno riferimento a come il polinomio caratteristico del modello AR (p). Mentre questa risposta discute , questo è esattamente il polinomio caratteristico di dove . Le radici sono i reciproci degli autovalori. (Nota: affinché il modello sia fermo, si desidera , che è all'interno del cirlce dell'unità, o equivalentemente , che è al di fuori del cerchio unitario.)Lz1ϕ1zϕpzp A z = 1Az=1λz|λ|<1|z|>1

Riferimenti

Prado, Raquel e Mike West, Serie storiche: modellazione, calcolo e inferenza , 2010


Sono sorpreso di essere l'unico voto positivo al momento. Buona risposta!
Taylor,

@Taylor È una domanda vecchia e inattiva. :)
Matthew Gunn,
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