Sto cercando di modellare e prevedere una serie temporale ciclica piuttosto che stagionale (cioè ci sono modelli stagionali, ma non con un periodo fisso). Questo dovrebbe essere possibile fare usando un modello ARIMA, come menzionato nella Sezione 8.5 delle Previsioni: principi e prassi :

Il valore di è importante se i dati mostrano cicli. Per ottenere previsioni cicliche, è necessario disporre di insieme ad alcune condizioni aggiuntive sui parametri. Per un modello AR (2), il comportamento ciclico si verifica se .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

Quali sono queste condizioni aggiuntive sui parametri nel caso generale ARIMA (p, d, q)? Non sono riuscito a trovarli da nessuna parte.

Qualche intuizione grafica

Nei modelli AR , il comportamento ciclico proviene da radici coniugate complesse al polinomio caratteristico. Per prima cosa intuizione, ho tracciato di seguito le funzioni di risposta all'impulso a due modelli AR (2) di esempio.

1. Un processo persistente con radici complesse.
2. Un processo persistente con radici reali.

Per , Le radici del polinomio caratteristico sono dove sono autovalori della matrice che definisco di seguito. Con un autovelox coniugato complesso e , la controlla lo smorzamento (dove ) e controlla la frequenza dell'onda del coseno.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Esempio dettagliato di AR (2)

Supponiamo di avere l'AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

È possibile scrivere qualsiasi AR (p) come VAR (1) . In questo caso, la rappresentazione VAR (1) è:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ matrice governa la dinamica di e quindi . L'equazione caratteristica della matrice è: Gli autovalori di sono: Gli autovettori di sono: $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Si noti che . Formando la decomposizione autovalore e sollevando alla esima potenza. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Un vero autovalore porta al decadimento quando si alza . Autovalori con componenti immaginarie diverse da zero portano a un comportamento ciclico.$\lambda$$\lambda^k$

Autovalori con caso di componente immaginario:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

Nel contesto AR (2), abbiamo autovalori complessi se . Poiché è reale, devono venire in coppie che sono coniugati complessi tra loro.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Dopo il capitolo 2 di Prado e West (2010), lascia che

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Puoi mostrare la previsione è data da:$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Parlando liberamente, aggiungendo i coniugati complessi si annulla la loro componente immaginaria lasciandoti con una singola onda di coseno smorzata nello spazio dei numeri reali. (Nota che dobbiamo avere per la stazionarietà.)$0 \leq r < 1$

Se vuoi trovare , , , , inizia utilizzando la formula di Eulero che , possiamo scrivere:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Appendice

Nota Avvertenza terminologica confusa! Correlare il polinomio caratteristico di A con il polinomio caratteristico di AR (p)

Un altro trucco delle serie temporali consiste nell'utilizzare l' operatore lag per scrivere l'AR (p) come:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Sostituisci l'operatore lag con alcune variabili e le persone spesso fanno riferimento a come il polinomio caratteristico del modello AR (p). Mentre questa risposta discute , questo è esattamente il polinomio caratteristico di dove . Le radici sono i reciproci degli autovalori. (Nota: affinché il modello sia fermo, si desidera , che è all'interno del cirlce dell'unità, o equivalentemente , che è al di fuori del cerchio unitario.)$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ A z = 1$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Riferimenti

Prado, Raquel e Mike West, Serie storiche: modellazione, calcolo e inferenza , 2010