Qualche intuizione grafica
Nei modelli AR , il comportamento ciclico proviene da radici coniugate complesse al polinomio caratteristico. Per prima cosa intuizione, ho tracciato di seguito le funzioni di risposta all'impulso a due modelli AR (2) di esempio.
- Un processo persistente con radici complesse.
- Un processo persistente con radici reali.
Per , Le radici del polinomio caratteristico sono dove sono autovalori della matrice che definisco di seguito. Con un autovelox coniugato complesso e , la controlla lo smorzamento (dove ) e controlla la frequenza dell'onda del coseno.j=1…,p1λjλ1,…,λpAλ=reiωtλ¯=re−iωtrr∈[0,1)ω
Esempio dettagliato di AR (2)
Supponiamo di avere l'AR (2):
yt=ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+ϵt
È possibile scrivere qualsiasi AR (p) come VAR (1) . In questo caso, la rappresentazione VAR (1) è:
[ytyt−1]Xt=[ϕ11ϕ20]A[yt−1yt−2]Xt−1+[ϵt0]Ut
matrice governa la dinamica di e quindi . L'equazione caratteristica della matrice è:
Gli autovalori di sono:
Gli autovettori di sono:
AXtytAλ2−ϕ1λ−ϕ2=0
Aλ1=ϕ1+ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√2λ2=ϕ1−ϕ21+4ϕ2−−−−−−−√2
Av1=[λ11]v2=[λ21]
Si noti che . Formando la decomposizione autovalore e sollevando alla esima potenza.
E[Xt+k∣Xt,Xt−1,…]=AkXtAkAk=[λ11λ21][λk100λk2]⎡⎣1λ1−λ2−1λ1−λ2−λ2λ1−λ2λ1λ1−λ2⎤⎦
Un vero autovalore porta al decadimento quando si alza . Autovalori con componenti immaginarie diverse da zero portano a un comportamento ciclico.λλk
Autovalori con caso di componente immaginario:ϕ21+4ϕ2<0
Nel contesto AR (2), abbiamo autovalori complessi se . Poiché è reale, devono venire in coppie che sono coniugati complessi tra loro.ϕ21+4ϕ2<0A
Dopo il capitolo 2 di Prado e West (2010), lascia che
ct=λλ−λ¯yt−λλ¯λ−λ¯yt−1
Puoi mostrare la previsione è data da:E[yt+k∣yt,yt−1,…]
E[yt+k∣yt,yt−1,…]=ctλk+c¯tλ¯k=atrkcos(ωk+θt)
Parlando liberamente, aggiungendo i coniugati complessi si annulla la loro componente immaginaria lasciandoti con una singola onda di coseno smorzata nello spazio dei numeri reali. (Nota che dobbiamo avere per la stazionarietà.)0≤r<1
Se vuoi trovare , , , , inizia utilizzando la formula di Eulero che , possiamo scrivere:rωatθtreiθ=rcosθ+rsinθ
λ=reiωλ¯=re−iωr=|λ|=−ϕ2−−−−√
ω=atan2(imagλ,realλ)=atan2(12−ϕ21−4ϕ2−−−−−−−−−√,12ϕ1)
at=2|ct|θt=atan2(imagct,realct)
Appendice
Nota Avvertenza terminologica confusa! Correlare il polinomio caratteristico di A con il polinomio caratteristico di AR (p)
Un altro trucco delle serie temporali consiste nell'utilizzare l' operatore lag per scrivere l'AR (p) come:
(1−ϕ1L−ϕ2L2−…−ϕpLp)yt=ϵt
Sostituisci l'operatore lag con alcune variabili e le persone spesso fanno riferimento a come il polinomio caratteristico del modello AR (p). Mentre questa risposta discute , questo è esattamente il polinomio caratteristico di dove . Le radici sono i reciproci degli autovalori. (Nota: affinché il modello sia fermo, si desidera , che è all'interno del cirlce dell'unità, o equivalentemente , che è al di fuori del cerchio unitario.)Lz1−ϕ1z−…−ϕpzp A z = 1Az=1λz|λ|<1|z|>1
Riferimenti
Prado, Raquel e Mike West, Serie storiche: modellazione, calcolo e inferenza , 2010