costo di campionamento di

Mi sono imbattuto nel seguente problema di simulazione: dato un set di numeri reali noti, una distribuzione su è definita da dove indica la parte positiva di . Mentre riesco a pensare a un campionatore Metropolis-Hastings che prende di mira questa distribuzione, mi chiedo se esiste un campionatore diretto efficiente, sfruttando il gran numero di probabilità zero per ridurre l'ordine dell'algoritmo da a . $\{\omega_1,\ldots,\omega_d\}$ $\{-1,1\}^d$

P (X = (x_{1}, \dots, x_{d})) \propto (x_{1} ω_{1} + \dots + x_{d} ω_{d})_{+}

$\mathbb{P}(X=(x_1,\ldots,x_d))\propto (x_1\omega_1+\ldots+x_d\omega_d)_+$

(z)_{+}

$(z)_+$

z

$z$

O (2^{d})

$O(2^d)$

O (d)

$O(d)$

— Xi'an
fonte

Ecco un campionatore ricorsivo abbastanza ovvio che è $O(d)$ nel migliore dei casi (in termini di pesi $\omega_i$ ), ma esponenziale nel peggiore dei casi.

Supponiamo di aver già selezionato e desideriamo scegliere . Dobbiamo calcolare $x_1, \dots, x_{i-1}$ $x_{i}$ e sceglicon probabilità

w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, x_{i}) = \sum_{x_{i + 1} \in {- 1, 1}} \dots \sum_{x_{d} \in {- 1, 1}} {(\sum_{j = 1}^{d} ω_{j} x_{j})}_{+}

$w(x_1, \dots, x_{i-1}, x_i) = \sum_{x_{i+1} \in \{-1, 1\}} \cdots \sum_{x_{d} \in \{-1, 1\}} \left( \sum_{j=1}^d \omega_j x_j \right)_+$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

Il denominatore sarà diverso da zero per qualsiasi scelta valida di campioni

\frac{w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, 1)}{w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, 1) + w (x_{1}, \dots, x_{i - 1}, - 1)} .

$\frac{w(x_1, \dots, x_{i-1}, 1)}{w(x_1, \dots, x_{i-1}, 1) + w(x_1, \dots, x_{i-1}, -1)}.$

x_{1}, \dots, x_{i - 1}

$x_1, \dots, x_{i-1}$

Ora, ovviamente, la domanda è come calcolare . $w(x_1, \dots, x_i)$

$C := \sum_{j=1}^{i} \omega_j x_j \ge \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$ $\omega \cdot x \ge 0$ $x$ $x_{1:i}$ $w$

\begin{aligned} \underset{X_{io + 1}}{Σ} \dots \underset{X_{d}}{Σ} ω \cdot X & = ω \cdot (\underset{X_{io + 1}}{Σ} \dots \underset{X_{d}}{Σ} X) \\ = Σ_{j = 1}^{io} ω_{j} \underset{2^{d - io} X_{j}}{\underset{⏟}{(\underset{X_{io + 1}}{Σ} \dots \underset{X_{d}}{Σ} X_{j})}} + Σ_{j = io + 1}^{d} ω_{j} \underset{0}{\underset{⏟}{(\underset{X_{io + 1}}{Σ} \dots \underset{X_{d}}{Σ} X_{j})}} \\ = 2^{d - io} C . \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} \omega \cdot x &= \omega \cdot \left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x \right) \\&= \sum_{j=1}^i \omega_j \underbrace{\left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x_j \right)}_{2^{d-i} x_j} + \sum_{j=i+1}^d \omega_j \underbrace{\left( \sum_{x_{i+1}} \cdots \sum_{x_d} x_j \right)}_{0} \\&= 2^{d-i} C .\end{align}$

$C \le - \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$ $\omega \cdot x \le 0$ $w(x_1, \dots, x_i) = 0$

$w(x_1, \dots, x_i) = w(x_1, \dots, x_i, 1) + w(x_1, \dots, x_i, -1)$

$w(1)$ $w(-1)$ $x_1$ $w$ $O(d)$

$\omega_i$ $\omega_1 \ge \omega_2 \ge \dots \ge \omega_d$

$\lvert \omega_1 \rvert > \sum_{j=2}^d \lvert \omega_j \rvert$ $w(1)$ $w(-1)$ $w$ $O(d)$

$\omega_1 = \omega_2 = \dots = \omega_d$

$(1, 1, \dots, 1)$ $(-1, -1, \dots, -1)$ $\lceil d/2 \rceil$ $O(2^{d/2})$ $2^{d/2}$

$\omega_i$ $\omega_i$ $d$

— Dougal
fonte

C_{io} \leq - Σ_{j = io + 1}^{d} | ω_{j} |

$C_i\le -\sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$

C_{io} \geq Σ_{j = io + 1}^{d} | ω_{j} |

$C_i\ge \sum_{j=i+1}^{d} \lvert \omega_j \rvert$

No, non il complemento: quando è molto grande sai che il troncamento non viene applicato, quando è molto piccolo viene sempre applicato e nel frattempo devi ricorrere per capire quando è o non è applicato.

— Dougal,