Valore atteso del determinante del log di una matrice di Wishart

Sia $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ , cioè distribuito secondo una distribuzione Wishart dimensionale $D \times D$ con media $\nu \Psi$ e gradi di libertà $\nu$ . Vorrei un'espressione per $E(\log |\Lambda|)$ doveè il determinante. $|\Lambda|$

Ho cercato su Google un po 'la risposta a questo e ho ottenuto alcune informazioni contrastanti. Questo documento afferma esplicitamente che dove indica la funzione digamma ; il documento non fornisce una fonte per questo fatto per quanto posso dire. Questa è anche la formula usata nella pagina di Wikipedia per il Wishart , che contiene il testo di Bishop's Pattern Recognition.

E (\log | Λ |) = D \log 2 + \log | Ψ | + Σ_{io = 1}^{D} ψ (\frac{ν - io + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

D'altra parte, Google ha sollevato questa discussione con un documento collegato che afferma che Concludono affermando che che deriva dal fatto che . Ho controllato questo calcolo a partire da e sembra a posto, ma abbiamo un extra .

ν^{D} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (\log | Λ |) = D \log 2 - D \log ν + \log | Ψ | + \sum_{i = 1}^{D} ψ (\frac{ν - i + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— tipo
fonte

Mentre mi stavo preparando per pubblicare questo, sono stato in grado di rispondere alla mia domanda. In conformità con l'etichetta generale StackExchange ho deciso di pubblicarlo comunque nella speranza che qualcun altro che si imbatte in questo problema possa trovarlo in futuro, possibilmente dopo aver incontrato gli stessi problemi con le fonti che ho fatto. Ho deciso di rispondere immediatamente in modo che nessuno ci perda tempo poiché la soluzione non è interessante.

è errato, perché il documento collegato alla discussione utilizzava una diversa parametrizzazione del Wishart; questo non è stato notato dagli interlocutori. Quello che in realtà dovremmo avere è $(\dagger)$ Dopo questa correzione, le due formule portano alla stessa risposta.

\frac{| Λ |}{| Ψ |} ~ χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

Ad ogni modo, penso che sia una relazione interessante. $(\dagger\dagger)$

MODIFICARE:

$\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— tipo
fonte

Mi piace di più la versione di Cholesky: hai la radice quadrata del chi-quadrato sulla diagonale e la norma normale sul triangolo inferiore.

— Probislogic,

@probabilityislogic Grazie per il suggerimento! Ricordarlo così sembra più facile e più utile.

— ragazzo

Ehi, sto cercando di ricavare l'attesa del registro Wishart (dichiarato nel libro di Bishop), che sembra complicato, hai trovato qualche fonte per ricavare il risultato?

— avocado,