Valore atteso e varianza della funzione di traccia


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Per variabili casuali , e una matrice semi-definita positiva A : esiste un'espressione semplificata per il valore atteso, E [ T r ( X T A X ) ] e varianza, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Si noti che A non è una variabile casuale.XRhAE[Tr(XTAX)]Var[Tr(XTAX)]A

Risposte:


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Poiché XTAX è uno scalare,

Tr(XTAX)=XTAX=Tr(AXXT)
modo che
E(XTAX)=E(Tr(AXXT))=Tr(E(AXXT))=Tr(AE(XXT))
.

Qui abbiamo usato che la traccia di un prodotto è invariante nelle permutazioni cicliche dei fattori e che la traccia è un operatore lineare, quindi commuta con le aspettative. La varianza è un calcolo molto più coinvolti, che necessita anche alcuni momenti elevati di X . Tale calcolo può essere trovato in Seber: "Analisi della regressione lineare" (Wiley)


Tr(XTAX)=XTAX

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XTAX
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