Valore atteso e varianza della funzione di traccia

Per variabili casuali , e una matrice semi-definita positiva A : esiste un'espressione semplificata per il valore atteso, E [ T r ( X T A X ) ] e varianza, V a r [ T r ( X T A X ) ] ? Si noti che A non è una variabile casuale.$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Poiché $X^TAX$ è uno scalare,

Qui abbiamo usato che la traccia di un prodotto è invariante nelle permutazioni cicliche dei fattori e che la traccia è un operatore lineare, quindi commuta con le aspettative. La varianza è un calcolo molto più coinvolti, che necessita anche alcuni momenti elevati di $X$ . Tale calcolo può essere trovato in Seber: "Analisi della regressione lineare" (Wiley)