Le probabilità sono conservate durante la trasformazione delle funzioni?

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Penso che questo sia un po 'di base, ma dire che ho una variabile casuale $X$ , la probabilità $P(X \leq a)$ uguale a $P(f(X) \leq f(a))$ per qualsiasi funzione continua con valore reale $f$ ?

probability distributions

— Link L
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1

Inoltre: generalmente,

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$ .

— Alexis,

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Questo vale solo se sta aumentando monotonicamente. Se sta diminuendo monotonicamente, allora . Ad esempio, se X è un tiro di dado normale, allora $f$ $f$ $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ $f(x) = -x$ ma $P(X \leq 5) = \frac56$ . Sepassa da crescente a decrescente, è ancora più complicato. $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

Nota c'è anche il caso banale di , in cui è uguale a 1 se e 0 altrimenti. $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Acccumulation
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+1 Avrei dovuto aggiungere il caso iniettivo quando questo è vero.

— Stéphane Laurent,

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No. Prendi l' uniforme su e . Poi . D'altra parte . $X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— Stéphane Laurent
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Questo è legato alla domanda:

è per ogni ? $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

Ci possono essere molti modi per violare mentre . Ma, in tutti i casi, richiede che sia una funzione non monotona. $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— Sesto Empirico
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