PDF uniforme della differenza di due camper

È possibile che il PDF della differenza di due iid rv sembri un rettangolo (anziché, diciamo, il triangolo che otteniamo se i rv sono presi dalla distribuzione uniforme).

cioè è possibile che il PDF f di jk (per due iid rv presi da una certa distribuzione) abbia f (x) = 0,5 per tutti -1 <x <1?

Non ci sono restrizioni sulla distribuzione da cui prendiamo j e k tranne per il fatto che il minimo è -1 e il massimo è 1.

Dopo alcuni esperimenti, sto pensando che potrebbe essere impossibile.

random-variable pdf iid

— nathan
fonte

La differenza tra due distribuzioni uniformi è una distribuzione triangolare, quindi se chiedi se è possibile ottenere l'uniforme di una differenza di uniformi iid, allora la risposta non lo è.

— Tim

Lo stesso Q ha chiesto qui: math.stackexchange.com/questions/2048939/… finora senza risposte!

— kjetil b halvorsen,

Sembrerebbe davvero difficile evitare realizzazioni al di fuori di quando sia che hanno una massa di probabilità vicina a questi endpoint.

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

— Christoph Hanck,

Non è possibile. A mio ricordo, questo è (in forma leggermente diversa) già risposto da qualche parte sul sito. Vedrò se riesco a

— trovarlo

@Glen_b Potresti ricordare stats.stackexchange.com/questions/125360/… . Non è del tutto un duplicato, tuttavia, perché una differenza di variabili iid, sebbene espressibile come somma potrebbe comportare una somma di variabili con distribuzioni non identiche. Credo che una banale modifica della mia soluzione affronterà questa differenza; La soluzione di Silverfish sembra applicarsi direttamente senza quasi nessuna modifica, ma prima bisogna rimuovere un sacco di materiale estraneo per vederlo.

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

— whuber

Risposte:

Teorema: non esiste distribuzione per cui quando . $\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

Prova: considera due variabili casuali con funzione caratteristica comune . Indica la loro differenza con . La funzione caratteristica della differenza è: $A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

(La quarta riga di questo lavoro deriva dal fatto che la funzione caratteristica è Hermitian .) Ora, prendendo ottiene un modulo specifico per , che è: $D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

dove quest'ultima è la funzione sinc (non normalizzata) . Quindi, per soddisfare i requisiti di , abbiamo bisogno di una funzione caratteristica con norma quadrata data da: $\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

Il lato sinistro di questa equazione è una norma quadrata ed è quindi non negativo, mentre il lato destro è una funzione che è negativa in vari punti. Quindi, non esiste una soluzione a questa equazione, e quindi non esiste una funzione caratteristica che soddisfi i requisiti per la distribuzione. (Hat-tip a Fabian per averlo sottolineato in una domanda correlata su Mathematics.SE .) Quindi, non c'è distribuzione con i requisiti del teorema. $\blacksquare$

— Ben - Ripristina Monica
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Questo è un punto di vista dell'ingegnere elettrico in materia, con un punto di vista più adatto a dsp.SE piuttosto che a stats.SE, ma non importa.

Supponiamo che e sono continue variabili casuali con comune pdf . Quindi, se indica , abbiamo che La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ci dice che ha un massimo a . Infatti, poiché è in realtà la funzione di "autocorrelazione" di considerata come un "segnale", deve avere un massimo univoco in e quindi non può essere distribuito uniformemente come desiderato. In alternativa, se $X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$ se effettivamente fosse una densità uniforme (ricordate che è anche una funzione di autocorrelazione), allora la "densità spettrale di potenza" di (considerata come un segnale) sarebbe una funzione sincera, e quindi non una funzione non negativa poiché tutte le densità spettrali di potenza devono essere . Ergo, il presupposto che sia una densità uniforme porta a una contraddizione e quindi il presupposto deve essere falso.

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

L'affermazione che è ovviamente valida quando la distribuzione comune di e contiene atomi poiché in tal caso anche la distribuzione di conterrà atomi. Ho il sospetto che la restrizione che e hanno un pdf possa essere rimossa e una dimostrazione puramente teorica costruita per il caso generale quando e non godono necessariamente di un pdf (ma la loro differenza lo fa). $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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Parte di ciò non mi sembra giusto. La funzione caratteristica del Distribuzione è il funzione, così chiaramente che tipo di trasformata di Fourier è ammissibile. La tua logica mi sembra condurre a dimostrare troppo - sembra dimostrare non solo che non può essere uniforme, ma che la distribuzione uniforme non può esistere affatto. Ho frainteso?

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

— Ben - Ripristina Monica il

L' esistenza o meno della funzione caratteristica di non è il problema; esiste. Il pdf di è una funzione di autocorrelazione . Bene, la densità spettrale di potenza di qualsiasi funzione di autocorrelazione deve essere una funzione non negativa. Quindi, il presupposto che porta ad una densità spettrale di potenza che è una funzione sincera (che assume valori sia positivi che negativi). Poiché questa non è una densità spettrale di potenza valida (ricordate che è anche una funzione di autocorrelazione), l'assunto che deve essere falso.

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

— Dilip Sarwate,