Teorema: non esiste distribuzione per cui quando .DistA−B∼U(−1,1)A,B∼IID Dist
Prova: considera due variabili casuali con funzione caratteristica comune . Indica la loro differenza con . La funzione caratteristica della differenza è:A,B∼IID DistφD=A−B
φD(t)=E(exp(itD))=E(exp(it(A−B)))=E(exp(itA))E(exp(−itB))=φ(t)φ(−t)=φ(t)φ(t)¯¯¯¯¯¯¯¯¯=|φ(t)|2.
(La quarta riga di questo lavoro deriva dal fatto che la funzione caratteristica è Hermitian .) Ora, prendendo ottiene un modulo specifico per , che è:D∼U(−1,1)φD
φD(t)=E(exp(itD))=∫Rexp(itr)fD(r)dr=12∫−11exp(itr)dr=12[exp(itr)it]r=1r=−1=12exp(it)−exp(−it)it=12(cos(t)+isin(t))−(cos(−t)+isin(−t))it=12(cos(t)+isin(t))−(cos(t)−isin(t))it=122isin(t)it=sin(t)t=sinc(t).
dove quest'ultima è la funzione sinc (non normalizzata) . Quindi, per soddisfare i requisiti di , abbiamo bisogno di una funzione caratteristica con norma quadrata data da:Distφ
|φ(t)|2=φD(t)=sinc(t).
Il lato sinistro di questa equazione è una norma quadrata ed è quindi non negativo, mentre il lato destro è una funzione che è negativa in vari punti. Quindi, non esiste una soluzione a questa equazione, e quindi non esiste una funzione caratteristica che soddisfi i requisiti per la distribuzione. (Hat-tip a Fabian per averlo sottolineato in una domanda correlata su Mathematics.SE .) Quindi, non c'è distribuzione con i requisiti del teorema. ■