Intuizione dietro la formula per la varianza di una somma di due variabili

Lo so da studi precedenti che

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

Tuttavia, non capisco perché. Vedo che l'effetto sarà quello di "aumentare" la varianza quando A e B covary altamente. Ha senso che quando crei un composito da due variabili altamente correlate tenderai ad aggiungere le osservazioni alte da A con le osservazioni alte da B e le osservazioni basse da A con le osservazioni basse da B. Ciò tenderà a creare valori estremamente alti e bassi nella variabile composita, aumentando la varianza del composito.

Ma perché funziona per moltiplicare la covarianza per esattamente 2?

Risposta semplice:

La varianza implica un quadrato:

$$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$$

Quindi, la tua domanda si riduce al fattore 2 nell'identità quadrata:

$$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Che può essere inteso visivamente come una decomposizione dello spazio di un quadrato di lato nella zona dei quadrati più piccoli dei lati e , oltre ai due rettangoli di lati e :$(a+b)$$a$$b$$a$$b$

Risposta più coinvolta:

Se vuoi una risposta matematicamente più coinvolta, la covarianza è una forma bilineare, il che significa che è lineare sia nel suo primo che nel secondo argomento, questo porta a:

$$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$$

Nell'ultima riga, ho usato il fatto che la covarianza è simmetrica:

$$Cov(A,B) = Cov(B,A)$$

Per riassumere:

Sono due perché devi tenere conto sia di che di .$cov(A,B)$$cov(B,A)$

L'insieme di variabili casuali è uno spazio vettoriale e molte delle proprietà dello spazio euclideo possono essere analogizzate ad esse. La deviazione standard si comporta in modo molto simile a una lunghezza e la varianza come lunghezza al quadrato. L'indipendenza corrisponde all'essere ortogonale, mentre la perfetta correlazione corrisponde alla moltiplicazione scalare. Pertanto, la varianza di variabili indipendenti segue il Teorema di Pitagora: .
$var(A+B) = var(A)+var(B)$

Se sono perfettamente correlati, allora
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

Si noti che questo equivale a
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

Se non sono indipendenti, seguono una legge analoga alla legge dei coseni:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

Si noti che il caso generale è uno tra l'indipendenza completa e la correlazione perfetta. Se e sono indipendenti, allora è zero. Così il caso generale è che ha sempre un termine e una termine, e quindi ha qualche variazione sul termine ; più le variabili sono correlate, maggiore sarà questo terzo termine. E questo è esattamente ciò che è: si tratta di volte la di e .$A$$B$$cov(A,B)$$var(A,B)$$var(A)$$var(B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$$2cov(A,B)$$2\sqrt{var(A)var(B)}$$r^2$$A$$B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

dove e$MeasureOfCorrelation = r^2$$PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

In altri termini, se , allora$r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

Pertanto, è analogo al nella Legge dei Coseni.$r^2$$cos$

Vorrei aggiungere che ciò che hai citato non è la definizione di , ma piuttosto una conseguenza delle definizioni di e . Quindi la risposta al motivo per cui vale quell'equazione è il calcolo effettuato da unità . La tua domanda potrebbe davvero essere il motivo per cui ciò ha un senso; informale:$Var(A+B)$$Var$$Cov$

Quanto "varierà" dipende da quattro fattori:$A+B$

1. Quanto varierebbe da solo.$A$
2. Quanto varierebbe da solo.$B$
3. Quanto varierà quando sposta (o varia).$A$$B$
4. Quanto varierà quando sposta.$B$$A$

Il che ci porta a perché è un operatore simmetrico.

$$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$$ $$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$$ $Cov$