Parametrizzazione delle distribuzioni di Behrens-Fisher

"Sul problema di Behrens-Fisher: una recensione" di Seock-Ho Kim e Allen S. Cohen

Journal of Educational and Behavioural Statistics , volume 23, numero 4, Winter, 1998, pagine 356–377

Sto guardando questa cosa e dice:

Fisher (1935, 1939) scelse la statistica [dove è la solita -statistic a un campione per ] dove viene preso nel primo quadrante e [. . . ] La distribuzione di è la distribuzione di Behrens-Fisher ed è definita dai tre parametri , e ,
$τ = \frac{δ - ({\bar{x}}_{2} - {\bar{x}}_{1})}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}} = t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ$ $\tau = \frac{\delta-(\bar x_2 - \bar x_1)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} = t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $t_i$ $t$ $i=1,2$ $\theta$ $\begin{matrix} (13) & \tan θ = \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}} . \end{matrix}$ $\tan\theta = \frac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}.\tag{13}$ $\tau$ $\nu_1$ $\nu_2$ $\theta$

I parametri erano stati precedentemente definiti come per . $\nu_i$ $n_i-1$ $i=1,2$

Ora le cose che sono osservabili qui ci sono e le due medie della popolazione , , la cui differenza è , e di conseguenza e le due -Statistiche. Le SD di esempio e sono osservabili e vengono utilizzate per definire , in modo che sia una statistica osservabile, non un parametro di popolazione non osservabile. Tuttavia vediamo che viene utilizzato come uno dei parametri di questa famiglia di distribuzioni! $\delta$ $\mu_1$ $\mu_2$ $\delta$ $\tau$ $t$ $s_1$ $s_2$ $\theta$ $\theta$

Potrebbe essere che avrebbero dovuto dire che il parametro è l' di piuttosto che di ? $\dfrac{\sigma_1/\sqrt{n_1}}{\sigma_2/\sqrt{n_2}}$ $\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

distributions parameterization fiducial

— Michael Hardy
fonte

La distribuzione di Behrens-Fisher è definita da dove è un numero reale e e sono distribuzioni indipendenti con gradi di libertà e rispettivamente. $t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $\theta$ $t_2$ $t_1$ $t$ $\nu_2$ $\nu_1$

La soluzione di Behrens e Fisher del problema Behrens-Fisher coinvolge la distribuzione Behrens-Fisher con seconda delle osservazioni perché è una soluzione pseudo-bayesiana (in effetti, fiduciale): questa distribuzione dipendente dai dati è una distribuzione simile a quella posteriore di (con l'unica parte casuale nella definizione di perché i dati sono fissi). $\theta$ $\tau$ $\delta$ $\tau$

— Stéphane Laurent
fonte

Quindi stai dicendo che è la distribuzione di dove non è casuale , anche se dicono e e sono casuali? Quindi è la distribuzione condizionale dato il rapporto di varianze? Mi sembra che gli autori avrebbero dovuto essere molto più espliciti al riguardo.

t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ

$t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$

θ

$\theta$

θ = \arctan \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}}

$\theta=\arctan\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

— Michael Hardy,

Quindi questo dovrebbe essere visto come un altro esempio della tecnica di Fisher di condizionamento su una statistica accessoria?

— Michael Hardy,

s_{1}

$s_1$ e dipendono dai dati, ma i dati sono fissi, questo è come una distribuzione posteriore nelle statistiche bayesiane. Nell'espressione di , ciascuno di , , e è fisso e è casuale.

s_{2}

$s_2$

τ

$\tau$

{\bar{x}}_{1}

$\bar x_1$

{\bar{x}}_{2}

$\bar x_2$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

δ

$\delta$

— Stéphane Laurent,

Rispondi al tuo secondo commento: non lo so. Qui si tratta di statistiche fiduciali.

— Stéphane Laurent,

Secondo questa risposta, tutta la casualità in e deriva dalla casualità in e e il resto è fisso. Ma la giustificazione per dire che e hanno le particolari distribuzioni di probabilità che sono loro attribuite, è la distribuzione dei dati. Dovremmo solo dire "questo perché questa è inferenza fiduciale"?

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

μ_{1}

$\mu_1$

μ_{2}

$\mu_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

— Michael Hardy,