Trovare densità marginali di

Come dice il titolo, sto cercando le densità marginali di

f (x, y) = c \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}, x^{2} + y^{2} \leq 1.

$f (x,y) = c \sqrt{1 - x^2 - y^2}, x^2 + y^2 \leq 1.$

Finora ho trovato come . L'ho capito attraverso la conversione di in coordinate polari e l'integrazione su , motivo per cui sono bloccato sulla porzione di densità marginale. So che , ma non sono sicuro di come risolverlo senza ottenere un grande integrale disordinato, e so che la risposta non è ' non dovrebbe essere un grande integrale disordinato. È possibile invece trovare e quindi prendere per trovare $c$ $\frac{3}{2 \pi}$ $f(x,y)$ $drd\theta$ $f_x(x) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$ $F(x,y)$ $\frac{dF}{dx}$ $f_x(x)$ ? Sembra il modo intuitivo per farlo, ma non riesco a trovare nulla nel mio libro di testo che dichiari tali relazioni, quindi non volevo fare ipotesi sbagliate.

self-study marginal multivariable

— Jarrod
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@kwak Non sono sicuro del perché sia stato necessario modificare il titolo ... il tag "compiti a casa" dovrebbe essere sufficiente.

— Shane,

@Shane:> ok è tornato all'originale.

— user603

La geometria aiuta qui. Il grafico di è una cupola sferica del raggio unitario. (Segue immediatamente che il suo volume è la metà di quello di una sfera unitaria, , da cui .) Le densità marginali sono date da aree di sezioni trasversali verticali attraverso questa sfera. Ovviamente ogni sezione trasversale è un semicerchio: per ottenere la densità marginale, trova il suo raggio in funzione della variabile rimanente e usa la formula per l'area di un cerchio. La normalizzazione della risultante funzione univariata in modo che l'area dell'unità la trasformi in densità. $f$ $(4 \pi /3)/2$ $c=3/(2 \pi)$

— whuber
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Ahh, è una specie di ritorno da me da un calcolo multivariabile. Ricordo di aver fatto problemi del genere. Come trovo il raggio in funzione della variabile rimanente? Sembra ancora che mi resterà una specie di integrale di mostri.

— Jarrod,

Lascia che la variabile rimanente sia . Quindi descrive la regione su cui devi integrarti. Evidentemente il raggio è uguale a , da cui l'area della sezione trasversale è uguale a È una formula piuttosto semplice :-). (Ricorda, il tema qui è la geometria, non il calcolo ...)

y

$y$

x^{2} \leq 1 - y^{2}

$x^2 \le 1-y^2$

\sqrt{1 - y^{2}}

$\sqrt{1 - y^2}$

π (1 - y^{2}) / 2.

$\pi (1 - y^2)/2.$

— whuber

Oh giusto. Mi è passato per la testa, ma sembrava troppo semplice. Immagino di essere determinato a complicarlo. Grazie!

— Jarrod,

Ho dimenticato di chiedere: come fa a capire questo?

— Jarrod,

A mio avviso, la risposta di Whuber merita di essere votata per due motivi. Innanzitutto risponde alla domanda posta, in secondo luogo come modello per come in futuro potremmo gestire le domande (dichiarate esplicitamente) sui compiti a casa: questo tipo di risposte contribuisce effettivamente al processo di apprendimento e potrebbe essere una politica migliore rispetto alla domanda sui compiti a casa rispetto a quella adottata a MO / SO.

— user603