La prova di quel momento che genera funzioni determina in modo univoco le distribuzioni di probabilità

Il testo di Wackerly et al afferma questo teorema "Sia e denotano rispettivamente le funzioni generatrici del momento delle variabili casuali X e Y. Se esistono entrambe le funzioni generatrici del momento e per tutti i valori di t, allora X e Y hanno la stessa distribuzione di probabilità. " senza una prova dicendo che va oltre lo scopo del testo. Scheaffer Young ha anche lo stesso teorema senza una prova. Non ho una copia di Casella, ma la ricerca di libri di Google non sembra trovare il teorema in essa. $m_x(t)$ $m_y(t)$ $m_x(t) = m_y(t)$

Il testo di Gut sembra avere uno schema di una prova , ma non fa riferimento ai "risultati noti" e richiede anche di conoscere un altro risultato la cui prova non è fornita.

Qualcuno sa chi lo ha dimostrato in origine e se la prova è disponibile online ovunque? Altrimenti come si riempirebbero i dettagli di questa prova?

Nel caso in cui mi venga chiesto di no, questa non è una domanda da fare, ma potrei immaginare che questo possa essere il compito di qualcuno. Ho seguito una sequenza di corsi basata sul testo di Wackerly e sono rimasta a chiedermi questa prova per un po 'di tempo. Quindi ho pensato che fosse il momento di chiedere.

— Chris Simokat
fonte

Correlati : (i) Inversione di mgfs e (ii) Esistenza della funzione generatrice del momento e varianza

— Cardinale

Se hai accesso al testo di Probabilità e Misura di Billingsley , questo è discusso in una sezione intitolata "Il metodo dei momenti". (Mi scuso per la vaghezza, poiché al momento non ce l'ho a portata di mano.) Se ricordo bene, la prova che usa si basa sui risultati corrispondenti per funzioni caratteristiche, che potrebbero non essere completamente soddisfacenti. Questo è certamente (ben) al di fuori dell'ambito del previsto sfondo del testo di Wackerly.

— cardinale il

Wow @cardinal, le tue risposte a queste domande sono state superiori e molto utili, grazie e grazie per la raccomandazione testuale dovrei ottenere una copia.

— Chris Simokat,

@cardinal Ho acceduto a Billigsley prima di vedere la tua nota e ho aggiunto una descrizione della prova alla mia precedente risposta.

— Michael R. Chernick,

Per quanto riguarda la storia ("chi lo ha originariamente dimostrato?"), Sembra che Laplace usasse la funzione caratteristica per questo tipo di lavoro nel 1785 e avesse sviluppato la formula di inversione generale (che è la chiave della dimostrazione) entro il 1810. Vedi Anders Hald , Una storia di statistiche matematiche dal 1750 al 1930 , capitolo 17.

— whuber

Risposte:

La prova generale di ciò può essere trovata in Feller (An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2) . È un problema di inversione che coinvolge la teoria della trasformazione di Laplace. Hai notato che il mgf ha una sorprendente somiglianza con la trasformazione di Laplace? Per l'uso di Laplace Transformation puoi vedere Widder (Calcus Vol I) .

Prova di un caso speciale:

Supponiamo che X e Y siano variabili casuali che assumono solo valori possibili in { }. Supponiamo inoltre che X e Y abbiano lo stesso mgf per tutte t: Per semplicità, lasceremo e per . $0, 1, 2,\dots, n$

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) = \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y)

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$

s = e^{t}

$s = e^t$

c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i = 0, 1,\dots,n$

Ora

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) - \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y) = 0

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - \sum_{y = 0}^{n} s^{y} f_{Y} (y) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{Y} (x) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} [f_{X} (x) - f_{Y} (x)] = 0

$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$

Quanto sopra è semplicemente un polinomio in s con coefficienti

. L'unico modo in cui può essere zero per tutti i valori di s è se

Quindi, abbiamo che

per

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} c_{x} = 0 \forall s > 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$

c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}

$c_0, c_1,\dots,c_n$

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$

0 = c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i=0, 1,\dots,n$

Pertanto, per . $f_X(i)=f_Y(i)$ $i=0,1,\dots,n$

In altre parole, le funzioni di densità per e sono esattamente le stesse. In altre parole, e hanno le stesse distribuzioni. $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Argha
fonte

Principalmente la funzione di generazione del momento determina in modo univoco la distribuzione.

— Argha,

Il teorema di cui stai discutendo è un risultato di base nella teoria della probabilità / misura. Le prove sarebbero più probabilmente trovate nei libri sulla probabilità o sulla teoria statistica. Ho trovato il risultato analogo per le funzioni caratteristiche fornite in Hoel Port e Stone pp 205-208

Tucker pp 51-53

e Chung pp 151-155 Questa è la terza edizione. Ho la seconda edizione e mi riferisco ai numeri di pagina nella seconda edizione pubblicata nel 1974.

La prova per il mgf l'ho trovata più difficile da trovare, ma puoi trovarla nel libro di Billingley "Probabilità e misura" pp. 342-345. A pagina 342 il teorema 30.1 fornisce il teorema che risponde al problema del momento. Nella pagina 345 Billingsley afferma il risultato che se una misura di probabilità ha una funzione generatrice di momenti definita su un intervallo che circonda 0, l'ipotesi per il Teorema 30.1 è soddisfatta e quindi la misura è determinata dai suoi momenti. Ma questi momenti sono determinati da M (s). Quindi la misura è determinata dalla sua funzione generatrice del momento se M (s) esiste in un vicinato di 0. Quindi questa logica insieme alla dimostrazione che fornisce per Teorema30.1 dimostra il risultato. Billingsley commenta anche che la soluzione per esercitare 26.

— Michael R. Chernick
fonte

Dov'è questo a Chung? Intendevi le pagine 161-165, per caso? Ciò nonostante, si occupa di funzioni caratteristiche , non di funzioni generatrici di momenti , come richiesto dall'OP.

— cardinale il

@ cardinale Sì, lo so. Ho citato il risultato per le funzioni caratteristiche perché è quello che ho trovato finora. Come ho detto, i numeri di pagina in Chung sono basati sulla seconda edizione che ho. Non so dove appaia nella terza edizione. Penso che dovrebbero esserci alcune fonti che avranno il risultato per mgfs.

— Michael R. Chernick,

Ho votato perché apprezzo anche la tua risposta, quindi grazie per aver dedicato del tempo.

— Chris Simokat,

$X$ $M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$ $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ $t \in (-\delta,\delta)$ $F_X(t) = F_Y(t)$ $t \in \mathbb{R}$

Per dimostrare che la funzione di generazione del momento determina la distribuzione, ci sono almeno due approcci:

$M_X$ $(-\delta,\delta)$ $X$ $F_X$ $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$ $M_X$
$M_X$ $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ $M_X(z)=Ee^{zX}$ $M_X(it)=\varphi_X(t)$ $t\in\mathbb{R}$ $\varphi_X$ $F_X$ Curtiss, JH Ann. Matematica. Statistiche 13: 430-433 e riferimenti in essa.

A livello universitario, quasi ogni libro di testo funziona con la funzione di generazione del momento e afferma il teorema sopra senza dimostrarlo. Ha senso, perché la dimostrazione richiede una matematica molto più avanzata di quella consentita dal livello universitario.

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$

— user334639
fonte

Oggi, mgfs non dovrebbe essere ignorato poiché i loro sono molto più utili numericamente della funzione caratteristica

— kjetil b halvorsen

Infatti! Eppure non ho mai visto un libro di testo che enfatizzi i metodi numerici ma abbia una matematica abbastanza profonda da fornire una prova del Teorema dell'unicità.

— user334639