Proprietà di una variabile casuale discreta

Il mio corso di statistica mi ha appena insegnato che una variabile casuale discreta ha un numero finito di opzioni ... Non me ne ero reso conto. Avrei pensato, come un insieme di numeri interi, potrebbe essere infinito. Cercare su Google e controllare diverse pagine Web, tra cui alcune provenienti da corsi universitari, non è stato confermato in modo specifico; la maggior parte dei siti afferma tuttavia che sono numerabili variabili casuali discrete - suppongo che ciò significhi numerazione fine?

È chiaro che le variabili casuali continue sono infinite anche se (la maggior parte?) Sono spesso delimitate.

Ma se variabili casuali discrete hanno possibilità finite, che cos'è allora una distribuzione infinita di numeri interi? Non è né discreto né continuo? La domanda è discutibile perché le variabili o tendono ad essere continue e (per definizione) infinite o discontinue e finite?

random-variable discrete-data

— Giacomo
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Si dovrebbe chiedere le statistiche corso su variabili aleatorie geometriche e di Poisson

— probabilityislogic

È online, feedback così limitato. Stai suggerendo che sono un terzo (e quarto?) Tipo di variabile, piuttosto che solo (!) Distribuzioni?

— James,

Una distribuzione non è una variabile casuale e ignorare questa distinzione ha confuso molti. Un bellissimo teorema della matematica dei primi del 20 ° secolo, il teorema di decomposizione di Lebesgue , mostra come concepire tutte le funzioni di distribuzione come tre tipi distinti: "continuo" (che è ulteriormente suddiviso in assolutamente continuo e continuo ma non ac) e "discreto. "

— whuber

non è un buon corso che sto prendendo temo

— Aksakal,

A tutte le risposte qui, grazie (anche se alcuni sono sopra la mia testa, lo confesso). Probabilmente dovrei riferirmi a ciò che ha innescato questa domanda, dal momento che esaminandola potrei averla interpretata in modo errato: una domanda vera / falsa che afferma "Una variabile casuale discreta può assumere un numero finito di valori distinti" è considerata vera; con la spiegazione che l'affermazione "è una delle proprietà chiave di una variabile casuale discreta". Se avessimo esaminato gli agricoltori chiedendo quanti bovini possedessero, sarebbe impossibile limitare il numero in anticipo, è teoricamente infinito ma discreto ...?

— James,

Risposte:

Se è quello che ha detto il tuo corso, è sbagliato.

Mentre le distribuzioni discrete possono avere un numero finito di possibili esiti, non sono tenuti a farlo; puoi avere una distribuzione discreta che ha un numero infinito di possibili risultati - il numero di elementi non dovrebbe essere altro che numerabile.

Un esempio comune sarebbe una distribuzione geometrica; considera il numero di lanci di una moneta giusta fino ad ottenere una testa. Non c'è limite superiore finito al numero di lanci che potrebbero essere necessari. Può richiedere 1 sorteggio, oppure 2, oppure 3, oppure 100 o qualsiasi altro numero.

Una distribuzione discreta potrebbe essere negativa (considera la differenza tra due di queste variabili casuali distribuite geometricamente; può essere qualsiasi numero intero positivo o negativo).

Una distribuzione discreta non deve essere sopra gli interi, però, come nel mio esempio. Questa è solo una situazione comune, non un requisito.

— Glen_b -Restate Monica
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Quindi qual è la condizione effettiva che rende una distribuzione "discreta"? :)

— Matthew Drury

La condizione è che abbia Lebesgue in misura zero, non è, @matthewDrury ?. Che a sua volta equivale alla distribuzione che somma al massimo uno su un set numerabile.

— Therkel,

Devo ammettere che non conosco le definizioni canoniche. Sono curioso di sapere il ruolo dei punti di accumulo in tutto questo.

— Matthew Drury,

@Therkel Penserei che una distribuzione sul Cantor Set non sarebbe considerata "discreta".

— Accumulo,

Dopo aver verificato en.wikipedia.org/wiki/Countable_set sono felice di accettarlo come risposta; l'esempio di distribuzione geometrica è chiaro e sembra rappresentare il consenso delle risposte finora fornite.

— James,

Sto scrivendo una risposta, con la prospettiva che ho solo una comprensione molto ingenua della probabilità teorica della misura (quindi, esperti, per favore correggetemi!).

Una variabile casuale (a valore reale) è una funzione da , dove è uno spazio di esempio. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

$X$ è discreto se , l'immagine di indotta da , è numerabile. è continuo se ha un CDF assolutamente continuo . (Non so molto di funzioni assolutamente continue, quindi non posso approfondire questo punto.) $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

Tuttavia, non tutte le variabili casuali sono solo discrete o continue. Esistono variabili casuali "miste", in cui ha un CDF che è la somma di una funzione step e di una funzione continua con indicatori. $X(s)$

Puoi anche avere variabili casuali che non sono né discrete né continue, come la distribuzione di Cantor .

— Clarinettista
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In realtà sai molto di distribuzioni assolutamente continue, perché (quasi per definizione) una distribuzione assolutamente continua ha una densità. Esistono distribuzioni continue che non hanno densità: l'esempio archetipico è la distribuzione indotta dalla funzione Cantor .

— whuber

Se l'immagine numerabile ha un punto di accumulo, potremmo ancora dire che è discreta?

— Matthew Drury,

@Matthew Sì. L'esempio che ho citato in un altro commento ( stats.stackexchange.com/a/104018/919 ), che è chiaramente discreto (ognuno di un numero numerabile di valori ha una probabilità diversa da zero, quindi la sua funzione di distribuzione consiste in nient'altro che salti) ha l'intero intervallo per la sua serie di punti di accumulo.

[0, 1]

$[0,1]$

— whuber

Per citare la pagina di Wikipedia su variabili continue e discrete :

Se [la variabile] può assumere due particolari valori reali in modo tale da poter assumere anche tutti i valori reali tra loro (anche i valori che sono arbitrariamente vicini tra loro), la variabile è continua in quell'intervallo

Pertanto, una variabile casuale discreta non deve avere un "numero finito di opzioni", ma deve esserci un divario non infinitesimale tra i possibili valori. Questo è il caso di una distribuzione di numeri interi, poiché la 'distanza' tra due numeri interi vicini è 1 e non può essere inferiore a questa. Pertanto la variabile non è continua in quanto non "continua" all'interno di queste lacune.

Modifica: so che probabilmente ci sono modi migliori e / o più precisi per rispondere a questo, ma questo è ciò che mi ha aiutato a capire personalmente la differenza.

— deemel
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A proposito, per intuizione la caratterizzazione di Wikipedia potrebbe essere OK, ma per la maggior parte degli altri scopi non è corretta. Un aspetto importante della "variabile casuale continua" che omette (su diversi) è che dipende dalle probabilità dei suoi valori, non solo dall'insieme di valori che può raggiungere. La tua caratterizzazione del divario "non infinitesimale" purtroppo non è corretta. Fornisco un controesempio su stats.stackexchange.com/a/104018/919 che mostra una variabile discreta che assegna probabilità positive a tutti i numeri razionali tra e

0

$0$

1.

$1.$

— whuber

Alcuni autori hanno affermato che i valori che si avvicinano arbitrariamente non sono discreti, ma devo ammettere di trovarlo strano (anche se forse mi manca qualcosa). Un esempio è la distribuzione della differenza di radici quadrate di due variate casuali di Poisson (con applicazioni reali: le persone a volte prendono radici quadrate con variabili ritenute Poisson per stabilizzare la varianza e potrebbero essere interessate a centrare le differenze di coppia zero). I valori possono essere arbitrariamente vicini insieme a una tale variabile ma sono sempre distinti (puoi elencarli tutti), ... ctd

— Glen_b -Reinstate Monica

ctd ... e tutti i valori che assume hanno probabilità positive. Un esempio più semplice sarebbe il reciproco di una variabile geometrica casuale (numero di prove): per ogni ci sono valori più vicini tra loro - quindi è discreto ma non lo è? Qualcuno sa di una buona ragione per cui questa particolare distinzione (che i valori non possono essere arbitrariamente vicini tra loro per essere discreti) è disegnata da alcuni autori? Confronta con l'esempio di un set discreto ... ctd

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen Questi autori sembrano confondere due diversi concetti di "discreto": uno è l'idea teorica-misura discussa qui e l'altro è il concetto topologico in cui ogni elemento di un insieme discreto in uno spazio topologico è contenuto in un insieme aperto non avendo altri elementi di in esso. Sebbene sia bello che una misura di probabilità supportata su qualsiasi sottoinsieme discreto della linea reale sia discreta, il contrario non è vero: le misure discrete non devono essere supportate su sottospazi discreti.

A

$A$

A

$A$

— whuber

Suppongo che sia un disordine che avevo in testa. Sono un topologo addestrato, quindi discreto suona sicuramente nel contesto topologico quando lo sento. Grazie per aver chiarito @whuber.

— Matthew Drury,