Distribuzione normale

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C'è un problema di statistica che purtroppo non ho idea da dove cominciare (sto studiando da solo, quindi non posso chiedere a nessuno se non capisco qualcosa.

La domanda è

$X,Y$ iid $N(a,b^2); a=0; b^2=6; var(X^2+Y^2)=?$

self-study normal-distribution random-variable

— Ang
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Dato che hai a che fare con dati normali IID, vale la pena generalizzare leggermente il tuo problema per esaminare il caso in cui hai e vuoi . (La tua domanda corrisponde al caso in cui ). Come altri utenti hanno sottolineato, la somma dei quadrati delle variabili casuali normali IID è una variabile casuale non centrale ridimensionata e quindi la varianza di interesse può essere ottenuta dalla conoscenza di quella distribuzione. Tuttavia, è anche possibile ottenere la varianza richiesta utilizzando le regole dei momenti ordinari, combinate con la conoscenza dei momenti della distribuzione normale . Ti mostrerò come farlo di seguito, a passi. $X_1, ..., X_n \sim \text{IID N}(a, b^2)$ $Q_n \equiv \mathbb{V}(\sum_{i=1}^n X_i^2)$ $n=2$

Trovare la varianza usando i momenti della distribuzione normale: Poiché i valori sono IID (e assumono come valore generico da questa distribuzione) hai: dove denotiamo i momenti grezzi come . Questi momenti grezzi possono essere scritti in termini di momenti centrali e la media utilizzando $X_1, ..., X_n$ $X$
$\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = \sum_{i = 1}^{n} V (X_{i}^{2}) \\ = n V (X^{2}) \\ = n (E (X^{4}) - E (X^{2})^{2}) \\ = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}), \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= \sum_{i=1}^n \mathbb{V}(X_i^2) \\[6pt]&= n\mathbb{V}(X^2) \\[6pt]&= n(\mathbb{E}(X^4) - \mathbb{E}(X^2)^2) \\[6pt]&= n(\mu_4' - \mu_2'^2), \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $\mu_k' \equiv \mathbb{E}(X^k)$ $\mu_k \equiv \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^k)$ $\mu_1' = \mathbb{E}(X)$ formule di conversione standard e possiamo quindi cercare i momenti centrali della distribuzione normale e sostituirli.

Usando le formule di conversione del momento dovresti ottenere: Per la distribuzione abbiamo significati e momenti centrali di ordine superiore , e . Questo ci dà i momenti grezzi:
$\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = μ_{2} + μ_{1}^{' 2}, \\ μ_{3}^{'} & = μ_{3} + 3 μ_{1}^{'} μ_{2} + μ_{1}^{' 3}, \\ μ_{4}^{'} & = μ_{4} + 4 μ_{1}^{'} μ_{3} + 6 μ_{1}^{' 2} μ_{2} + μ_{1}^{' 4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= \mu_2 + \mu_1'^2, \\[6pt]\mu_3' &= \mu_3 + 3 \mu_1' \mu_2 + \mu_1'^3, \\[6pt]\mu_4' &= \mu_4 + 4 \mu_1' \mu_3 + 6 \mu_1'^2 \mu_2 + \mu_1'^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $X \sim \text{N}(a,b^2)$ $\mu_1' = a$ $\mu_2 = b^2$ $\mu_3 = 0$ $\mu_4 = 3 b^4$ $\begin{aligned} μ_{2}^{'} & = b^{2} + a^{2}, \\ μ_{3}^{'} & = 3 a b^{2} + a^{3}, \\ μ_{4}^{'} & = 3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4} . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}\mu_2' &= b^2 + a^2, \\[6pt]\mu_3' &= 3 a b^2 + a^3, \\[6pt]\mu_4' &= 3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4. \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ Ora, prova a sostituirli con l'espressione originale per trovare la varianza di interesse.

Sostituendo la prima espressione si ottiene: Per il caso speciale in cui hai . Si può dimostrare che questo risultato è in accordo con la soluzione che otterresti se tu usassi il metodo alternativo per derivare il tuo risultato dalla distribuzione chi-quadrata non centrale scalata.
$\begin{aligned} Q_{n} & = n (μ_{4}^{'} - μ_{2}^{' 2}) \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{2} + a^{2})^{2}] \\ = n [(3 b^{4} + 6 a^{2} b^{2} + a^{4}) - (b^{4} + 2 a^{2} b^{2} + a^{4})] \\ = n [2 b^{4} + 4 a^{2} b^{2}] \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n &= n(\mu_4' - \mu_2'^2) \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^2 + a^2)^2] \\[6pt]&= n[(3 b^4 + 6 a^2 b^2 + a^4) - (b^4 + 2 a^2 b^2 + a^4)] \\[6pt]&= n[2 b^4 + 4 a^2 b^2] \\[6pt]&= 2nb^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$ $n=2$ $Q_2 = 4b^2 (b^2 + 2a^2)$

Lavoro alternativo basato sull'uso della distribuzione chi-quadrata non centrale: poiché abbiamo:Usando la varianza nota di questa distribuzione abbiamo: Questo risultato corrisponde al risultato sopra. $X_i / b \sim \text{N}(a/b, 1)$
$\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2} \sim Non-central Chi-Sq (k = n, λ = \frac{n a^{2}}{b^{2}}) .$ $\sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \sim \text{Non-central Chi-Sq}\Big( k=n, \lambda= \frac{n a^2}{b^2} \Big).$ $\begin{aligned} Q_{n} \equiv V (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2}) & = b^{4} \cdot V (\sum_{i = 1}^{n} (\frac{X_{i}}{b})^{2}) \\ = b^{4} \cdot 2 (k + 2 λ) \\ = 2 b^{4} (n + 2 \frac{n a^{2}}{b^{2}}) \\ = 2 n b^{2} (b^{2} + 2 a^{2}) . \end{aligned}$ $\begin{equation} \begin{aligned}Q_n \equiv \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n X_i^2 \Big) &= b^4 \cdot \mathbb{V}\Big( \sum_{i=1}^n \Big(\frac{X_i}{b} \Big)^2 \Big) \\[6pt]&= b^4 \cdot 2(k+2 \lambda) \\[6pt]&= 2 b^4 \Big( n + 2 \frac{na^2}{b^2} \Big) \\[6pt]&= 2 n b^2 (b^2 + 2a^2). \\[6pt]\end{aligned} \end{equation}$

— Ben - Ripristina Monica
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I tag spoiler sono inutili e fonte di distrazione.

— Alexis,

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Se e sono variabili casuali indipendenti, allora è una variabile casuale . $X$ $Y$ $\text{N} (a, b^2)$ $\left( \frac{X - a}{b} \right)^2 + \left( \frac{Y - a}{b} \right)^2$ $\chi ^2(2)$

Pensi di poterlo prendere da lì?

— SOULed_Outt
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La risposta è nella distribuzione Chi-quadrato non centrale .

Ad esempio, se b = 1, la risposta alla tua domanda è: , dove è il numero di componenti ( e ). $2(k + 2(a^2))$ $k=2$ $X$ $Y$

— idnavid
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