Come determinare facilmente la distribuzione dei risultati per più dadi?

Voglio calcolare la distribuzione di probabilità per il totale di una combinazione di dadi.

Ricordo che la probabilità di è il numero di combinazioni che totalizzano quel numero sul numero totale di combinazioni (supponendo che i dadi abbiano una distribuzione uniforme).

A cosa servono le formule

• Il numero di combinazioni totali
• Il numero di combinazioni che totalizzano un certo numero

Soluzioni esatte

Il numero di combinazioni in tiri è ovviamente .$n$$6^n$

Questi calcoli vengono eseguiti più facilmente usando la funzione di generazione della probabilità per un dado,

$$p(x) = x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 = x \frac{1-x^6}{1-x}.$$

(In realtà questo è volte il pgf - mi prenderò cura del fattore alla fine.)$6$$6$

Il pgf per rotoli è . Possiamo calcolarlo abbastanza direttamente - non è un modulo chiuso ma è utile - usando il Teorema binomiale:$n$$p(x)^n$

$$p(x)^n = x^n (1 - x^6)^n (1 - x)^{-n}$$

$$= x^n \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^k x^{6k} \right) \left( \sum_{j=0}^{\infty} {-n \choose j} (-1)^j x^j\right).$$

Il numero di modi per ottenere una somma pari a sui dadi è il coefficiente di in questo prodotto, che possiamo isolare come$m$$x^m$

$$\sum_{6k + j = m - n} {n \choose k}{-n \choose j}(-1)^{k+j}.$$

La somma è sopra tutti non negativa e per cui ; quindi è finito e ha solo circa termini. Ad esempio, il numero di modi per totalizzare in lanci è una somma di soli due termini, perché può essere scritto solo come e :$k$$j$$6k + j = m - n$$(m-n)/6$$m = 14$$n = 3$$11 = 14-3$$6 \cdot 0 + 11$$6 \cdot 1 + 5$

$$-{3 \choose 0} {-3 \choose 11} + {3 \choose 1}{-3 \choose 5}$$

$$= 1 \frac{(-3)(-4)\cdots(-13)}{11!} + 3 \frac{(-3)(-4)\cdots(-7)}{5!}$$

$$= \frac{1}{2} 12 \cdot 13 - \frac{3}{2} 6 \cdot 7 = 15.$$

(Puoi anche essere intelligente e notare che la risposta sarà la stessa per con la simmetria 1 <--> 6, 2 <--> 5 e 3 <--> 4 e c'è solo un modo per espandere come ; vale a dire, con e , dando$m = 7$$7 - 3$$6 k + j$$k = 0$$j = 4$

$${3 \choose 0}{-3 \choose 4} = 15 \text{.}$$

La probabilità è quindi pari a = , circa il 14%.$15/6^3$$5/36$

Quando questo diventa doloroso, il Teorema del limite centrale fornisce buone approssimazioni (almeno ai termini centrali in cui è tra e : su base relativa, le approssimazioni che offre per i valori di coda peggiorano man mano che cresce di dimensioni).$m$$\frac{7 n}{2} - 3 \sqrt{n}$$\frac{7 n}{2} + 3 \sqrt{n}$$n$

Vedo che questa formula è riportata nell'articolo di Wikipedia Riferimenti Srikant ma non viene fornita alcuna giustificazione né vengono forniti esempi. Se per caso questo approccio sembra troppo astratto, accendi il tuo sistema di algebra del computer preferito e chiedigli di espandere la potenza di : puoi leggere l'intero insieme di valori subito. Ad esempio , un Mathematica one-liner è$n^{\text{th}}$$x + x^2 + \cdots + x^6$

With[{n=3}, CoefficientList[Expand[(x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^n], x]]

Un altro modo per calcolare rapidamente la distribuzione di probabilità di un tiro di dadi sarebbe quello di utilizzare un calcolatore specializzato progettato proprio per quello scopo.

Torben Mogensen , un professore di CS presso DIKU ha un eccellente rullo di dadi chiamato Troll .

Il rullo di dadi Troll e il calcolatore di probabilità stampano la distribuzione della probabilità (pmf, istogramma e facoltativamente cdf o ccdf), media, diffusione e deviazione media per una varietà di complicati meccanismi di lancio dei dadi. Ecco alcuni esempi che mostrano il linguaggio di lancio dei dadi di Troll:

Tirate 3 dadi a 6 facce e li somma: sum 3d6.

Lancio dei dadi 4 a 6 facce, mantengono il più alto 3 e li Somma: sum largest 3 4d6.

Stendere una "esplosione" dado a 6 facce (vale a dire, ogni volta che un "6" viene in su, aggiungere 6 al totale e rotolare di nuovo): sum (accumulate y:=d6 while y=6).

Il codice sorgente SML di Troll è disponibile, se vuoi vedere come è stato implementato.

Il professor Morgensen ha anche un articolo di 29 pagine, " Meccanismi di lancio dei dadi nei giochi di ruolo ", in cui discute molti dei meccanismi di lancio dei dadi implementati da Troll e parte della matematica dietro di loro.

Un software simile e open source simile è Dicelab , che funziona sia su Linux che su Windows.

$\newcommand{red}{\color{red}}$ $\newcommand{blue}{\color{blue}}$

Lascia che il primo dado sia rosso e il secondo sia nero. Quindi ci sono 36 possibili risultati:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &1&2&3&4&5&6\\\hline \red{1}&\red{1},1&\red{1},2&\red{1},3&\red{1},4&\red{1},5&\red{1},6\\ &\blue{^2}&\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}\\\hline \red{2}&\red{2},1&\red{2},2&\red{2},3&\red{2},4&\red{2},5&\red{2},6\\ &\blue{^3}&\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}\\\hline \red{3}&\red{3},1&\red{3},2&\red{3},3&\red{3},4&\red{3},5&\red{3},6\\ &\blue{^4}&\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}\\\hline \red{4}&\red{4},1&\red{4},2&\red{4},3&\red{4},4&\red{4},5&\red{4},6\\ &\blue{^5}&\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}\\\hline \red{5}&\red{5},1&\red{5},2&\red{5},3&\red{5},4&\red{5},5&\red{5},6\\ &\blue{^6}&\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}\\\hline \red{6}&\red{6},1&\red{6},2&\red{6},3&\red{6},4&\red{6},5&\red{6},6\\ &\blue{^7}&\blue{^8}&\blue{^9}&\blue{^{10}}&\blue{^{11}}&\blue{^{12}}\\\hline \end{array}$$

Ognuno di questi 36 risultati ( ) è altrettanto probabile.$\red{\text{red}},\text{black}$

Quando sommi i numeri sulle facce (totale in ), molti dei risultati (rosso, nero) finiscono con lo stesso totale - puoi vederlo con la tabella nella tua domanda.$\blue{\text{blue}}$

Quindi, ad esempio, c'è solo un modo per ottenere un totale di (cioè solo l'evento ( )), ma ci sono due modi per ottenere (cioè gli eventi elementari ( ) e ( )). Quindi un totale di probabilità doppia di arrivare a . Allo stesso modo ci sono tre modi per ottenere , quattro modi per ottenere e così via.1 , 1 3 2 , 1 1 , 2 3 2 4 $2$$\red{1},1$$3$$\red{2},1$$\red{1},2$$3$$2$$4$$5$

Ora che hai 36 possibili risultati (rosso, nero), anche il numero totale di modi per ottenere tutti i diversi totali è 36, quindi alla fine dovresti dividerlo per 36. La probabilità totale sarà 1, come dovrebbe essere.

Esiste un modo molto preciso di calcolare le combinazioni o le probabilità in un foglio di calcolo (come Excel) che calcola direttamente le convoluzioni.

Lo farò in termini di probabilità e lo illustrerò per dadi a sei facce, ma puoi farlo per dadi con un numero qualsiasi di lati (inclusa l'aggiunta di quelli diversi).

(tra l'altro è anche facile in qualcosa come R o matlab che farà le convoluzioni)

Inizia con un foglio pulito, in alcune colonne, e sposta verso il basso un gruppo di righe dall'alto (più di 6).

1. inserisci il valore 1 in una cella. Queste sono le probabilità associate a 0 dadi. metti uno 0 alla sua sinistra; questa è la colonna del valore - continua da lì con 1,2,3 giù per quanto ti serve.

2. sposta una colonna a destra e una riga in basso da '1'. inserisci la formula "= sum (" quindi freccia sinistra freccia su (per evidenziare la cella con 1 in essa), premi ":" (per iniziare a inserire un intervallo) e poi freccia su 5 volte, seguito da ") / 6 "e premi Invio - così finisci con una formula simile =sum(c4:c9)/6 (dove qui C9c'è la cella con l'1).

   

   Quindi copia la formula e incollala nelle 5 celle sottostanti. Ciascuno dovrebbe contenere 0,16667 (ish).

   

   Non digitare nulla nelle celle vuote a cui fanno riferimento queste formule!

3. sposta in basso 1 e a destra 1 dall'alto di quella colonna di valori e incolla ...

   

   ... per un totale di altri 11 valori. Queste saranno le probabilità per due dadi.

   

   Non importa se ne incolli un numero eccessivo, otterrai solo zero.

4. ripetere il passaggio 3 per la colonna successiva per tre dadi e ancora per i dadi quattro, cinque, ecc.

   

   Vediamo qui che la probabilità di rotolare su 4d6 è 0,096451 (se moltiplichi per sarai in grado di scriverlo come una frazione esatta).4 $12$$4^6$

Se sei esperto di Excel - cose come copiare una formula da una cella e incollare in molte celle in una colonna, puoi generare tutte le tabelle fino a dire 10d6 in circa un minuto o giù di lì (forse più veloce se l'hai fatto un poche volte).

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Se si desidera il conteggio delle combinazioni anziché le probabilità, non dividere per 6.

Se vuoi dadi con diversi numeri di facce, puoi sommare (anziché 6) celle e quindi dividere per . Puoi mescolare i dadi tra le colonne (ad es. Fai una colonna per d6 e una per d8 per ottenere la funzione di probabilità per d6 + d8):$k$$k$

Soluzione approssimativa

Ho spiegato la soluzione esatta in precedenza (vedi sotto). Ora offrirò una soluzione approssimativa che potrebbe soddisfare meglio le tue esigenze.

Permettere:

s i = 1 , . . . $X_i$ è il risultato di un tiro di dadi a faccia in dove .$s$$i=1, ... n$

$S$ è il totale di tutti i dadi.$n$

$\bar{X}$ rappresenta la media del campione.

Per definizione, abbiamo:

$\bar{X} = \frac{\sum_iX_i}{n}$

In altre parole,

$\bar{X} = \frac{S}{n}$

L'idea ora è di visualizzare il processo di osservazione di come risultato del lancio degli stessi dadi volte anziché come risultato del lancio di dadi. Pertanto, possiamo invocare il teorema del limite centrale (ignorando i tecnicismi associati al passaggio dalla distribuzione discreta a quella continua), abbiamo come :${X_i}$$n$$n$$n \rightarrow \infty$

$\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$

dove,

$\mu = (s+1)/2$ è la media del tiro di un singolo dado e

$\sigma^2 = (s^2-1)/12$ è la varianza associata.

Quanto sopra è ovviamente un'approssimazione poiché la distribuzione sottostante ha un supporto discreto.$X_i$

Ma,

$S = n \bar{X}$ .

Pertanto, abbiamo:

$S \sim N(n \mu, n \sigma^2)$ .

Soluzione esatta

Wikipedia ha una breve spiegazione su come calcolare le probabilità richieste. Elaborerò un po 'di più sul perché la spiegazione abbia senso. Nella misura del possibile, ho usato una notazione simile all'articolo Wikipedia.

Supponi di avere dadi ciascuno con facce e di voler calcolare la probabilità che un singolo lancio di tutti i dadi il totale si sommi a . L'approccio è il seguente:$n$$s$$n$$k$

Definire:

$F_{s,n}(k)$ : probabilità che tu ottenga un totale di su un singolo tiro di dadi con facce.$k$$n$$s$

Per definizione, abbiamo:

$F_{s,1}(k) = \frac{1}{s}$

Quanto sopra afferma che se hai solo un dado con facce la probabilità di ottenere un totale tra 1 e s è il familiare .$s$$k$$\frac{1}{s}$

Considera la situazione quando tiri due dadi: Puoi ottenere una somma di come segue: Il primo tiro è compreso tra 1 e e il tiro corrispondente per il secondo è tra e . Pertanto, abbiamo:$k$$k-1$$k-1$$1$

$F_{s,2}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-1}{F_{s,1}(i) F_{s,1}(k-i)}$

Ora considera un tiro di tre dadi: puoi ottenere una somma di se tira da 1 a sul primo dado e la somma sui due dadi rimanenti è compresa tra e . Così,$k$$k-2$$k-1$$2$

$F_{s,3}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-2}{F_{s,1}(i) F_{s,2}(k-i)}$

Continuando la logica di cui sopra, otteniamo l'equazione di ricorsione:

$F_{s,n}(k) = \sum_{i=1}^{i=k-n+1}{F_{s,1}(i) F_{s,n-1}(k-i)}$

Vedi il link Wikipedia per maggiori dettagli.

Le funzioni caratteristiche possono rendere davvero facili i calcoli che coinvolgono le somme e le differenze di variabili casuali . Mathematica ha molte funzioni per lavorare con le distribuzioni statistiche, incluso un incorporato per trasformare una distribuzione nella sua funzione caratteristica.

Vorrei illustrarlo con due esempi concreti: (1) Supponiamo di voler determinare i risultati del lancio di una raccolta di dadi con un numero diverso di lati, ad es. Tirare due dadi a sei facce più un dado a otto facce (es. , 2d6 + d8 )? Oppure (2) supponi di voler trovare la differenza tra due lanci di dadi (ad es. D6-d6 )?

Un modo semplice per farlo sarebbe usare le funzioni caratteristiche delle distribuzioni uniformi discrete sottostanti. Se una variabile casuale ha una funzione di massa di probabilità , la sua funzione caratteristica è solo la trasformata di Fourier discreta di , ovvero, . Un teorema ci dice:$X$ $f$$\varphi_X(t)$$f$$\varphi_X(t) = \mathcal{F}\{f\}(t) = E[e^{i t X}]$

Se le variabili casuali indipendenti e hanno corrispondenti funzioni di massa di probabilità e , allora il pmf della somma di questi camper è la convoluzione dei loro pmfs .$X$$Y$$f$$g$$h$$X + Y$$h(n) = (f \ast g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n-m)$

Possiamo usare la proprietà di convoluzione di Fourier Transforms per ribadire questo più semplicemente in termini di funzioni caratteristiche:

La funzione caratteristica della somma delle variabili casuali indipendenti e uguale al prodotto delle loro funzioni caratteristiche .$\varphi_{X+Y}(t)$$X$$Y$$\varphi_{X}(t) \varphi_{Y}(t)$

Questa funzione di Mathematica renderà la funzione caratteristica di uno stampo su un lato:

MakeCf [s_]: = 
 Modulo [Cf {}, 
  Cf: = CharacteristicFunction [DiscreteUniformDistribution [{1, s}], 
    t];
  Cf]

Il pmf di una distribuzione può essere recuperato dalla sua funzione caratteristica, perché le trasformate di Fourier sono invertibili. Ecco il codice Mathematica per farlo:

RecoverPmf [Cf_]: = 
  Modulo [{F}, 
    F [y_]: = SeriesCoefficient [Cf /. t -> -I * Log [x], {x, 0, y}];
    F]

Continuando il nostro esempio, sia F il pmf che risulta da 2d6 + d8.

F := RecoverPmf[MakeCf[6]^2 MakeCf[8]]

Ci sono risultati. Il dominio di supporto di F è . Tre è il minimo perché stai tirando tre dadi. E venti è il massimo perché . Se vuoi vedere l'immagine di F, calcola$6^2 \cdot 8 = 288$$S=\{3,\ldots,20\}$$20 = 2 \cdot 6 + 8$

In: = F / @ Range [3, 20]

Out = {1/288, 1/96, 1/48, 5/144, 5/96, 7/96, 13/144, 5/48, 1/9, 1/9, \
5/48, 13/144, 7/96, 5/96, 5/144, 1/48, 1/96, 1/288}

Se vuoi sapere il numero di risultati che ammontano a 10, calcola

In: = 6 ^ 2 8 F [10]

Out = 30

Se le variabili casuali indipendenti e hanno corrispondenti funzioni di massa di probabilità e , allora il pmf della differenza di questi camper è la correlazione incrociata dei loro pmfs .$X$$Y$$f$$g$$h$$X - Y$$h(n) = (f \star g)(n) = \sum_{m=-\infty}^\infty f(m) g(n+m)$

Possiamo usare la proprietà di correlazione incrociata delle trasformazioni di Fourier per ribadirla più semplicemente in termini di funzioni caratteristiche:

La funzione caratteristica della differenza di due variabili casuali indipendenti uguale al prodotto della funzione caratteristica e ( NB il segno negativo davanti alla variabile t nella seconda funzione caratteristica).X , Y φ X ( t ) φ Y ( - t $\varphi_{X-Y}(t)$${X,Y}$$\varphi_{X}(t)$$\varphi_{Y}(-t)$

Quindi, usando Mathematica per trovare il pmf G di d6-d6:

G := RecoverPmf[MakeCf[6] (MakeCf[6] /. t -> -t)]

Ci sono risultati. Il dominio di supporto di G è . -5 è il minimo perché . E 5 è il massimo perché . Se vuoi vedere l'immagine di G, calcolaS = { - 5 , … , 5 } - 5 = 1 - 6 6 - 1 = $6^2 = 36$$S=\{-5,\ldots,5\}$$-5=1-6$$6-1=5$

In: = G / @ Range [-5, 5]

Out = {1/36, 1/18, 1/12, 1/9, 5/36, 1/6, 5/36, 1/9, 1/12, 1/18, 1/36}

Ecco un altro modo per calcolare la distribuzione di probabilità della somma di due dadi a mano usando le convoluzioni.

Per rendere l'esempio davvero semplice, calcoleremo la distribuzione di probabilità della somma di un dado a tre facce (d3) di cui chiameremo X una variabile casuale e un dado a due facce (d2) di cui dovremo variabili variabili casuali chiama Y.

Stai andando a fare un tavolo. Dall'altra parte della riga superiore, scrivi la distribuzione di probabilità di X (risultati del lancio di un d3 giusto). Sotto la colonna di sinistra, scrivi la distribuzione di probabilità di Y (risultati del lancio di un giusto d2).

Costruirai il prodotto esterno della riga superiore delle probabilità con la colonna sinistra delle probabilità. Ad esempio, la cella in basso a destra sarà il prodotto di Pr [X = 3] = 1/3 volte Pr [Y = 2] = 1/2, come mostrato nella figura allegata. Nel nostro esempio semplicistico, tutte le celle equivalgono a 1/6.

Successivamente, eseguirai la somma lungo le linee oblique della matrice del prodotto esterno come mostrato nel diagramma allegato. Ogni linea obliqua passa attraverso una o più celle di cui ho colorato lo stesso: la linea superiore passa attraverso una cella blu, la linea successiva passa attraverso due celle rosse e così via.

Ciascuna delle somme lungo gli obliqui rappresenta una probabilità nella distribuzione risultante. Ad esempio, la somma dei globuli rossi equivale alla probabilità della somma dei due dadi a 3. Queste probabilità sono mostrate nella parte destra del diagramma di accompagnamento.

Questa tecnica può essere utilizzata con due distribuzioni discrete con supporto finito. E puoi applicarlo iterativamente. Ad esempio, se vuoi conoscere la distribuzione di tre dadi a sei facce (3d6), puoi prima calcolare 2d6 = d6 + d6; quindi 3d6 = d6 + 2d6.

V'è un linguaggio di programmazione (licenza, ma chiuso) gratuito chiamato J . È un linguaggio basato su array con le sue radici in APL. Ha incorporato operatori per eseguire prodotti esterni e somme lungo gli obliqui in matrici, rendendo la tecnica che ho illustrato abbastanza semplice da implementare.

Nel seguente codice J, definisco due verbi. Innanzitutto il verbo dcostruisce un array che rappresenta il pmf di un dado a faccia in giù. Ad esempio, d 6è il pmf di un dado a 6 facce. In secondo luogo, il verbo convtrova il prodotto esterno di due matrici e somme lungo le linee oblique. Quindi conv~ d 6stampa il pmf di 2d6:

d =: $%
conv =: + // @ (* /).
|: (2 + i.11) ,: conv ~ d 6
 2 0,0277778
 3 0.0555556
 4 0.0833333
 5 0.111111
 6 0.138889
 7 0.166667
 8 0.138889
 9 0.111111
10 0.0833333
11 0,0555556
12 0.0277778

Come puoi vedere, J è criptico, ma conciso.

Questa è in realtà una domanda sorprendentemente complicata. Fortunatamente per te, esiste una soluzione esatta che è molto ben spiegata qui:

http://mathworld.wolfram.com/Dice.html

La probabilità che stai cercando è data dall'equazione (10): "La probabilità di ottenere punti p (un tiro di p) su dadi n lati".

Nel tuo caso: p = il punteggio osservato (somma di tutti i dadi), n = il numero di dadi, s = 6 (dadi a 6 facce). Questo ti dà la seguente funzione di massa di probabilità:

$$P(X_n = p) = \frac{1}{s^n} \sum_{k=0}^{\lfloor(p-n)/6\rfloor} (-1)^k {n \choose k} {p-6k-1 \choose n-1}$$

Adoro il nome utente! Molto bene :)

$6\times 6=36$

$\frac{1}{36}$$2$$\frac{2}{36}$$3$$\frac{4}{36}$$4$

$n$$n-1$

$$a_n(l) = \sum_{l-6 \leq k \leq l-1 \\ \text{ and } n-1 \leq k \leq 6(n-1)} a_{n-1}(k)$$

Il primo limite per k nella somma sono i sei numeri precedenti. Ad esempio, se vuoi lanciare 13 con 3 dadi, puoi farlo se i tuoi primi due dadi tirano tra 7 e 12.

Il secondo limite per k nella somma è il limite di ciò che puoi tirare con dadi n-1

Il risultato:

1 1 1  1  1   1
1 2 3  4  5   6   5  4   3   2   1
1 3 6  10 15  21  25 27  27  25  21  15  10  6    3   1
1 4 10 20 35  56  80 104 125 140 146 140 125 104  80  56  35  20  10   4   1
1 5 15 35 70 126 205 305 420 540 651 735 780 780 735 651 540 420 305 205 126 70 35 15 5 1  

---

modifica: la risposta sopra era una risposta di un'altra domanda che è stata unita alla domanda da C.Ross

Il codice seguente mostra come i calcoli per quella risposta (alla domanda che richiede 5 dadi) sono stati eseguiti in R. Sono simili alle sommazioni eseguite in Excel nella risposta di Glen B.

# recursive formula
nextdice <- function(n,a,l) {
  x = 0
  for (i in 1:6) {
    if ((l-i >= n-1) & (l-i<=6*(n-1))) {
      x = x+a[l-i-(n-2)]
    }
  }
  return(x)  
}  

# generating combinations for rolling with up to 5 dices
a_1 <- rep(1,6)
a_2 <- sapply(2:12,FUN = function(x) {nextdice(2,a_1,x)})
a_3 <- sapply(3:18,FUN = function(x) {nextdice(3,a_2,x)})
a_4 <- sapply(4:24,FUN = function(x) {nextdice(4,a_3,x)})
a_5 <- sapply(5:30,FUN = function(x) {nextdice(5,a_4,x)})

$X_n=k$$x^{k}$

$$\left(\frac{x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^1}{6}\right)^n=\left(\frac{x(1-x^6)}{6(1-x)}\right)^n$$

$k=22$$P(X_6=22)= \frac{10}{6^6}$