Per quale problema o gioco sono le soluzioni ottimali di varianza e deviazione standard?

Per una determinata variabile casuale (o una popolazione, o un processo stocastico), l'aspettativa matematica è la risposta a una domanda Quale previsione puntuale minimizza la perdita quadrata attesa? . Inoltre, è la soluzione ottimale per un gioco Indovina la prossima realizzazione di una variabile casuale (o un nuovo sorteggio da una popolazione) e ti punirò per la distanza al quadrato tra il valore e la tua ipotesi se hai disutilità lineare in termini della punizione. La mediana è la risposta a una domanda corrispondente in perdita assoluta e la modalità è la risposta in perdita "tutto o niente".

Domande: la varianza e la deviazione standard rispondono a domande simili? Quali sono?

La motivazione di questa domanda deriva dall'insegnamento di misure di base di tendenza e diffusione centrali. Mentre le misure di tendenza centrale possono essere motivate dai problemi teorici-decisionali di cui sopra, mi chiedo come si possano motivare le misure di diffusione.

— Richard Hardy
fonte

Domanda molto interessante. Il mio approccio iniziale sarebbe che il "gioco" è qualitativamente lo stesso di quello che descrivi già, tranne per il fatto che la domanda si aspetta (non è previsto un gioco di parole) la risposta a un intervallo di valori anziché a un punto, poiché diffuso senza un punto di il riferimento è un'informazione piuttosto incompleta (se non insignificante).

— Emil,

Nota che la varianza è essa stessa un'aspettativa - se allora .

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b -Restate Monica

@Glen_b, hai ragione, e l'ho capito (avrei dovuto includerlo nel testo della domanda). "Indovina la differenza tra il prossimo valore e l'aspettativa e ti punirò quadraticamente" sarebbe il gioco. È il migliore che ci sia? Non sembra un gioco molto pratico o molto divertente, IMHO.

— Richard Hardy,

Se ho compreso la domanda come previsto, hai in mente un'impostazione in cui puoi ottenere realizzazioni indipendenti di qualsiasi variabile casuale con qualsiasi distribuzione (con varianza finita ). Il "gioco" è determinato dalle funzioni e da descrivere. Comprende i seguenti passaggi e regole: $X$ $F$ $\sigma^2(F)$ $h$ $\mathcal L$

Il tuo avversario ("Natura") rivela $F.$
In risposta produci un numero tua "previsione". $t(F),$

Per valutare l'esito del gioco, vengono eseguiti i seguenti calcoli:

Un esempio di iid osservazioni è tratto da $n$ $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ $F.$
Una funzione predeterminata viene applicata al campione, producendo un numero la "statistica". $h$ $h(\mathbf{X}),$
La "funzione di perdita" confronta la tua "previsione" con la statistica producendo un numero non negativo $\mathcal{L}$ $t(F)$ $h(\mathbf{X}),$ $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
Il risultato del gioco è la perdita attesa (o "rischio")
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Il tuo obiettivo è rispondere alla mossa della Natura specificando alcune che minimizzano il rischio. $t$

Ad esempio, nel gioco con la funzione e qualsiasi perdita della forma per un numero positivo tua mossa ottimale è scegliere come aspettativa di $h(X_1)=X_1$ $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ $\lambda,$ $t(F)$ $F.$

La domanda che abbiamo di fronte è:

Esistono $\mathcal{L}$ e $h$ per le quali la mossa ottimale è scegliere $t(F)$ come varianza $\sigma^2(F)$ ?

A questo si risponde prontamente esibendo la varianza come aspettativa. Un modo è di stabilire che

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$ e continuare a utilizzare la perdita quadratica

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$ Osservandolo

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

l'esempio ci consente di concludere che questa $h$ e questa $\mathcal L$ rispondono alla domanda sulla varianza.

Che dire della deviazione standard $\sigma(F)$ ? Ancora una volta, dobbiamo solo mostrarlo come aspettativa di una statistica campione. Tuttavia, ciò non è possibile, perché anche quando limitiamo $F$ alla famiglia delle distribuzioni di Bernoulli $(p)$ possiamo ottenere solo stimatori imparziali delle funzioni polinomiali di $p,$ ma $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ non è una funzione polinomiale sul dominio $p\in (0,1).$ (VediPer la distribuzione binomiale, perché non esiste uno stimatore imparziale per? $1/p$ Per l'argomento generale sulle distribuzioni binomiali, a cui questa domanda può essere ridotta dopo aver mediato $h$ su tutte le permutazioni di $X_i.$ )

— whuber
fonte

Grazie per una chiara articolazione della mia domanda e una risposta altrettanto chiara. Avresti anche un esempio di

che dipende da tutti i

punti di campionamento, non solo da due?

h

$h$

n

$n$

— Richard Hardy,

Esiste un modo standard per passare da

: calcola la statistica per tutte le coppie e media. In effetti, ciò produce la mia caratterizzazione della covarianza su stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Per la teoria formale di questo, leggere le statistiche U .

2

$2$

n

$n$

— whuber

Grazie mille!

— Richard Hardy,