Questo è un problema piuttosto semplice. Sebbene ci sia una connessione tra le distribuzioni binomiali di Poisson e Negative, in realtà penso che ciò non sia utile per la tua domanda specifica in quanto incoraggia le persone a pensare a processi binomiali negativi. Fondamentalmente, hai una serie di processi Poisson:
Yi(ti)|λi∼Poisson(λiti)
Dove è il processo e t i è il tempo si osserva, e ho denota gli individui. E stai dicendo che questi processi sono "simili" legando insieme i tassi con una distribuzione:Yitii
λio∼ G a m m a ( α , β)
Nel fare l'integrazione / mxixing su , hai:λio
Yio( tio) | α β∼ Ne gB i n ( α , pio)w h e r epio= tiotio+ β
Questo ha un pmf di:
Pr ( Yio( tio) = yio| αβ) = Γ ( α + yio)Γ ( α ) yio!pyioio( 1 - pio)α
Per ottenere la distribuzione dei tempi di attesa notiamo che:
= 1 - ( 1 - p i ) α = 1 - ( 1 t
Pr ( Tio≤ tio| αβ) = 1 - Pr ( Tio> tio| αβ) = 1 - Pr ( Yio( tio) = 0 | α β)
= 1 - ( 1 - pio)α= 1 - ( 1 + tioβ)- α
Differenzia questo e hai il PDF:
pTio( tio|αβ)=αβ(1+tiβ)−(α+1)
Questo è un membro delle distribuzioni generalizzate di Pareto, tipo II. Lo userei come distribuzione dei tempi di attesa.
Per vedere la connessione con la distribuzione di Poisson, nota che , quindi se impostiamoβ=ααβ=E(λi|αβ) e quindi prendiamo il limiteα→∞otteniamo:β=αλα→∞
limα → ∞αβ( 1 + tioβ)- ( α + 1 )= limα → ∞λ ( 1 + λ tioα)- ( α + 1 )= λ exp(−λti)
1α