Deborah Mayo ha confutato la prova di Birnbaum del principio di verosimiglianza?

Questo è in qualche modo correlato alla mia domanda precedente qui: un esempio in cui il principio di probabilità * davvero * conta?

Apparentemente, Deborah Mayo ha pubblicato un articolo su Statistical Science confutando la prova di Birnbaum del principio di probabilità. Qualcuno può spiegare l'argomento principale di Birnbaum e la contro-argomentazione di Mayo? Ha ragione (logicamente)?

In breve, l'argomento di Birnbaum è che due principi ampiamente accettati implicano logicamente che il principio di verosimiglianza debba valere. L'argomentazione contraria di Mayo è che la prova è errata perché Birnbaum abusa di uno dei principi.

Di seguito semplifico gli argomenti nella misura in cui non sono molto rigorosi. Il mio scopo è renderli accessibili a un pubblico più vasto perché gli argomenti originali sono molto tecnici. I lettori interessati dovrebbero vedere i dettagli negli articoli collegati nella domanda e nei commenti.

$\theta$$E_1$$E_2$$E_{mix}$$E_1$$E_2$

I principi:

I seguenti due principi sono ampiamente accettati:

$E_1$$E_{mix}$

Il Principio di sufficienza afferma che dovremmo trarre le stesse conclusioni in due esperimenti in cui una statistica sufficiente ha lo stesso valore.

Il seguente principio è accettato dai bayesiani ma non dai frequentatori. Tuttavia, Birnbaum afferma che si tratta di una logica conseguenza dei primi due.

Il principio di verosimiglianza afferma che dovremmo trarre le stesse conclusioni in due esperimenti in cui le funzioni di verosimiglianza sono proporzionali.

Teorema di Birnbaum:

$E_1$$\theta$${10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3$$E_2$$\theta$${9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3$

Birnbaum considera la seguente statistica su da a : dove ed sono numeri di "testa" e "coda", rispettivamente. Quindi, qualunque cosa accada, riporta il risultato come se provenisse dall'esperimento . Si scopre che è sufficiente per in . L'unico caso non banale è quando e , dove abbiamo$E_{mix}$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$$\{1, 2\} \times \mathbb{N}^2$

$$T: (\xi, x,y) \rightarrow (1, x,y),$$ $x$$y$$T$$E_1$$T$$\theta$$E_{mix}$$x = 7$$y = 3$

$$P(X_{mix}=(1,x,y)|T=(1,x,y)) = \frac{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3}{0.5 \times {10 \choose 3}\theta^7(1-\theta)^3 + 0.5 \times {9 \choose 7}\theta^7(1-\theta)^3}=\frac{{10 \choose 3}}{{10 \choose 3}+{9 \choose 7}}.$$ Tutti gli altri casi sono 0 o 1 - tranne , che è il complemento della probabilità sopra. La distribuzione di dato è indipendente da , quindi è una statistica sufficiente per .$P(X_{mix}=(2,x,y)|T=(1,x,y))$$X_{mix}$$T$$\theta$$T$$\theta$

Ora, secondo il principio di sufficienza, dobbiamo concludere lo stesso per e in , e dal principio di debole condionalità, dobbiamo concludere lo stesso per in e in , nonché per in e in . Quindi la nostra conclusione deve essere la stessa in tutti i casi, che è il principio di probabilità.$(1,x,y)$$(2,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_1$$(1,x,y)$$E_{mix}$$(x,y)$$E_2$$(2,x,y)$$E_{mix}$

Contro-prova di Mayo:

L'impostazione di Birnbaum non è un esperimento misto perché il risultato della moneta etichettata "1" e "2" non è stato osservato , quindi il principio di condizionalità debole non si applica a questo caso .

Prendi il test contro e trai una conclusione dal valore p del test. Come osservazione preliminare, si noti che il valore p di in è dato dalla distribuzione binomiale come circa ; il valore p di in è dato dalla distribuzione binomiale negativa come circa .$\theta = 0.5$$\theta > 0.5$$(7,3)$$E_1$$0.1719$$(7,3)$$E_2$$0.0898$

Ecco la parte importante: il valore p di in è dato come la media dei due - ricorda che non conosciamo lo stato della moneta - cioè circa . Tuttavia, il valore p di in - dove si osserva la moneta - è lo stesso di quello in , cioè circa . Il principio di condizionalità debole vale (la conclusione è la stessa in e in dove la moneta atterra "1") e tuttavia il principio di probabilità no. Il controesempio confuta il teorema di Birnbaum.$T=(1,7,3)$$E_{mix}$$0.1309$$(1,7,3)$$E_{mix}$$E_1$$0.1719$$E_1$$E_{mix}$

La confutazione di Peo e Berger della controforma di Mayo:

Mayo ha implicitamente cambiato la dichiarazione del principio di sufficienza: interpreta "stesse conclusioni" come "stesso metodo". Prendere il valore p è un metodo di inferenza, ma non una conclusione.

Il principio di autosufficienza dice che se esiste una statistica sufficiente, quindi le conclusioni devono essere gli stessi, ma non richiede la statistica sufficiente per essere utilizzato a tutti. Se lo facesse, porterebbe a una contraddizione, come dimostrato da Mayo.