Probabilità di

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Supponiamo che $X_1$ e $X_2$ siano variabili casuali geometriche indipendenti con il parametro $p$ . Qual è la probabilità che $X_1 \geq X_2$ ?

Sono confuso su questa domanda perché non ci viene detto nulla su $X_1$ e $X_2$ se non che sono geometrici. Non sarebbe del $50\%$ perché $X_1$ e $X_2$ possono essere qualsiasi cosa nell'intervallo?

EDIT: nuovo tentativo

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ = $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = $P(X1 < X2)$ e $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Pertanto, $P(X1 > X2)$ = $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ = $\frac{1-p}{2-p}$
Aggiunta di $P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ , ottengo $P(X1 ≥ X2)$ = $\frac{1}{2-p}$

È corretto?

self-study random-variable geometric-distribution

— IRCA
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Aggiungi il tag "studio autonomo".

— Testardo:

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In realtà perché X1e X2sono variabili discrete l'uguaglianza rende le cose un po 'meno ovvie.

— usεr11852,

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Non può essere del $50\%$ perché $P(X_1=X_2)>0$

Un approccio:

Considera i tre eventi $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ e $P(X_1=X_2)$ , che suddividono lo spazio del campione.

C'è un'ovvia connessione tra i primi due. Scrivi un'espressione per il terzo e semplifica. Quindi risolvere la domanda.

— Glen_b - Ripristina Monica
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Ho modificato il mio post con la mia nuova risposta. Potresti dare un'occhiata e vedere se è corretto?

— IrCa,

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P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

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La tua risposta, seguendo il suggerimento di Glen, è corretta. Un altro modo, meno elegante, è solo quello di condizionare:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Questo ti darà lo stesso , dopo aver maneggiato le due serie geometriche. La via di Glen è migliore. $1/(2-p)$

— zen
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nota: la tua strada è migliore per applicare a nuovi problemi, penso. Perché si basa sui primi principi. Il trucco / intuizione dalla risposta di glen_b di solito arriva dopo che il problema è stato risolto a modo tuo

— probabilitlogico

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@probabilityislogic Condivido il tuo entusiasmo per le derivazioni dai "primi principi". Tuttavia, per un matematico moderno, cercare e sfruttare la simmetria è ancora più fondamentale dei primi principi (definizioni) a cui si fa riferimento: potremmo chiamarlo un metaprincipio della matematica. È molto più di un semplice "trucco".

— whuber