Misura l'uniformità della distribuzione dei punti in un quadrato 2D

Ho un quadrato 2D e ho una serie di punti al suo interno, diciamo 1000 punti. Ho bisogno di un modo per vedere se la distribuzione dei punti all'interno del quadrato è diffusa (o più o meno uniformemente distribuita) o stanno tendendo a riunirsi in qualche punto all'interno del quadrato.

Ho bisogno di un modo matematico / statistico (non di programmazione) per determinarlo. Ho cercato su Google, ho trovato qualcosa come la bontà di adattamento, Kolmogorov, ecc., E mi chiedo solo se ci sono altri approcci per raggiungere questo obiettivo. Ne ho bisogno per la carta di classe.

Ingressi: un quadrato 2D e 1000 punti. Output: sì / no (sì = distribuito uniformemente, no = raccolta in alcuni punti).

Penso che l'idea di @John di un test chi = quadrato sia una strada da percorrere.

Vorresti le patch su 2-d, ma vorresti testarle usando un test chi-quadro a 1 via; vale a dire, i valori previsti per le celle sarebbero dove N è il numero di celle.$\frac{1000}{N}$

Ma è possibile che un diverso numero di cellule dia conclusioni diverse.

Un'altra possibilità è calcolare la distanza media tra i punti e quindi confrontarla con i risultati simulati di quella media. Ciò evita il problema di un numero arbitrario di celle.

EDIT (altro sulla distanza media)

Con 1000 punti, ci sono distanze a coppie tra i punti. Questi possono essere calcolati ciascuno (usando, diciamo, la distanza euclidea). Queste distanze possono essere mediate.$\frac{1000*999}{2}$

Quindi è possibile generare N (un numero elevato) di insiemi di 1000 punti distribuiti uniformemente. Ognuno di questi set N ha anche una distanza media tra i punti.

Confronta i risultati per i punti effettivi con i punti simulati, sia per ottenere un valore p o semplicemente per vedere dove cadono.

Un'altra possibilità è un test Chi-Squared. Dividi il quadrato in toppe non sovrapposte di uguali dimensioni e verifica i conteggi dei punti che cadono nelle toppe rispetto ai loro conteggi previsti in un'ipotesi di uniformità (l'aspettativa per una patch è total_points / total_patches se sono tutte uguali) e applica il test chi-quadrato. Per 1000 punti 9 patch dovrebbero essere sufficienti, ma potresti voler usare più granularità a seconda dell'aspetto dei tuoi dati.

Perché non usare il test Kolmogorov-Smirnov? Questo è quello che farei, soprattutto considerando che la dimensione del tuo campione è abbastanza grande da compensare la mancanza di potenza.

In alternativa, potresti fare qualche simulazione. Non è rigoroso, ma fornisce alcune prove del fatto che i dati siano distribuiti uniformemente.

@whuber L'estensione bidimensionale di KS è ben nota (vedi qui ). In questo caso, stiamo studiando se questi 1000 disegni (coordinate (x, y)) possano essere disegnati dalla distribuzione uniformemente bidimensionale - almeno è così che ho letto "distribuito uniformemente". @Giovanni avrei potuto esprimermi goffamente (né la matematica né l'inglese sono le mie prime lingue). Ciò che intendevo era che il valore p esatto può essere calcolato usando un test come KS, mentre il valore p (o qualunque cosa tu chiami l'equivalente) tende asintoticamente solo quando si eseguono simulazioni.