Densità di Y = log (X) per X gamma-distribuito

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Supponiamo di avere una variabile casuale e di definire . Vorrei trovare la funzione di densità di probabilità di . $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

Inizialmente avevo pensato di definire semplicemente la funzione di distribuzione cumulativa X, fare un cambio di variabile e prendere "dentro" l'integrale come la mia densità, in questo modo,

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

Qui uso e , quindi sub nelle definizioni di e in termini di . $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

L'output, purtroppo, non si integra con 1. Non sono sicuro di dove sia il mio errore. Qualcuno potrebbe dirmi dove si trova il mio errore?

pdf gamma-distribution

— duckworthd
fonte

Se lavori attraverso il cdf, non dovresti cambiare l'integrando dal primo al secondo integrale. Il tuo errore è nel tentativo di utilizzare contemporaneamente sia l'approccio cdf che quello giacobino.

— Xi'an,

Scrivi le densità con gli indicatori per avere un'immagine chiara.

Se , allora $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

Se , con inversa , allora e il CDF è ottenuto dalla definizione $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— zen
fonte

Questa è una buona risposta, ma forse dovresti parametrizzare la distribuzione Gamma allo stesso modo della domanda originale.

— assunto normale

Buon punto, Max. Fatto.

— Zen,

Accidenti, le mie definizioni avevano degli errori. Dovrebbe essere .

α = k

$\alpha = k$

— duckworthd,