Aggiornamento (25/06/2019): modifica del titolo da "I modelli MA non invertibili hanno senso?" per distinguerlo dalla domanda 333802 .

Durante la revisione di MA ($q$), mi sono imbattuto in queste diapositive (Alonso e Garcia-Martos, 2012). Gli autori affermano che, mentre tutti i processi MA sono stazionari, se non sono invertibili, si ha

" la situazione paradossale in cui l'effetto delle osservazioni passate aumenta con la distanza. "

Ciò può essere visto dalla decomposizione del processo MA (1): in dove chiaramente traduce nella storia avendo sempre più influenza sul presente. Due cose su questo mi danno fastidio:

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ $|\theta|>1$

1. Non è difficile immaginare una situazione in cui si verifichi un ritardo di una volta negli effetti di qualcosa
2. Questo post convalidato ha una risposta che afferma:

"La invertibilità non è davvero un grosso problema perché quasi tutti i modelli gaussiani, non invertibili MA (q) possono essere cambiati in un modello MA (q) invertibile che rappresenta lo stesso processo "

È vero che l'effetto delle osservazioni passate aumenta con la distanza? In tal caso, ciò rende i modelli inadatti alla descrizione dei fenomeni del mondo reale?

Aggiornamento (2019-11-09) Lo abbiamo trovato nel testo Analisi delle serie temporali e sue applicazioni (Shumway e Stoffer, pagina 85) che supporta anche il caso in cui non importa davvero se un modello MA non è invertibile, ma noi potrebbe essere utile scegliere la versione non invertibile del modello per comodità.

Non è un grosso problema, è fortemente fermo e si avvicina al rumore bianco

Il non invertibile $\text{MA}(1)$il processo ha perfettamente senso e non presenta alcun comportamento particolarmente strano. Prendendo la versione gaussiana del processo, per qualsiasi vettore$\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ costituito da osservazioni consecutive, abbiamo $\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$ con covarianza:

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

Come puoi vedere, questo è un processo fortemente stazionario e le osservazioni che sono distanti più di un ritardo sono indipendenti, anche quando $|\theta|>1$. Ciò non sorprende, in considerazione del fatto che tali osservazioni non condividono alcuna influenza dal processo del rumore bianco sottostante. Non sembra esserci alcun comportamento in cui "le osservazioni passate aumentano con la distanza" e l'equazione che hai affermato non lo stabilisce (vedi sotto per ulteriori discussioni).

In effetti, come $|\theta| \rightarrow \infty$(che è il caso più estremo del fenomeno che stai considerando) il modello si riduce asintoticamente a un banale processo di rumore bianco. Ciò non sorprende, in considerazione del fatto che un grande coefficiente sul termine di errore con il primo ritardo domina il coefficiente unitario sul termine di errore concorrente e sposta il modello asintoticamente verso la forma$y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$, che è solo una versione ridimensionata e spostata del processo del rumore bianco sottostante.

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Una nota sulla tua equazione: nell'equazione nella tua domanda scrivi il valore corrente delle serie temporali osservabili come una somma geometricamente crescente di valori passati, più i termini di errore rimanenti. Ciò è affermato per dimostrare che "l'effetto delle osservazioni passate aumenta con la distanza". Tuttavia, l'equazione comporta un gran numero di termini di annullamento. Per vedere questo, espandiamo i termini osservabili passati per mostrare la cancellazione dei termini:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Da questa espansione possiamo vedere che la somma geometricamente crescente dei valori passati delle serie storiche osservabili è lì solo per ottenere il precedente termine di errore:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

Tutto ciò che sta accadendo qui è che stai cercando di esprimere il precedente termine di errore in modo imbarazzante. Il fatto che una lunga somma che annulla i valori ponderati geometricamente delle serie è uguale al termine di errore desiderato non dimostra che le osservazioni passate abbiano "un effetto" sul valore attuale delle serie temporali. Significa semplicemente che se vuoi esprimere$\epsilon_{t-1}$ in termini di $\epsilon_0$ quindi l'unico modo per farlo è quello di aggiungere la somma ponderata geometricamente della serie osservabile.

Non penso che abbia senso chiedere un esempio "dal mondo reale in cui si verificano [modelli MA non invertibili"). Tutto ciò che osservi è$y_1,y_2,\dots,y_n$. Come provo a spiegare nel post a cui ti colleghi, la distribuzione congiunta di questi dati può quasi sempre (tranne nel caso in cui il polinomio MA abbia una o più radici di unità) essere modellato in modo identico come generato da un numero di non invertibili Modelli MA o con un corrispondente modello MA invertibile. Basandosi solo sui dati, non vi è quindi modo di sapere se il meccanismo alla base del "mondo reale" corrisponde a quello di un modello non invertibile o invertibile. E i modelli ARIMA non sono comunque intesi come modelli meccanicistici del processo di generazione dei dati in primo luogo.

Quindi questo si riduce a limitare lo spazio dei parametri a quello dei modelli invertibili per rendere identificabile il modello con l'ulteriore vantaggio di avere un modello che può essere facilmente inserito in AR$(\infty)$ modulo.