Che cos'è la varianza puntuale?

Durante la lettura di The Elements of Statistical Learning , ho incontrato diverse volte il termine "varianza puntuale". Mentre ho una vaga idea di cosa significhi probabilmente, sarei grato di saperlo

Come viene definito?
Come viene derivato?

variance

— miura
fonte

Ciò significa in genere la varianza dello stimatore di una funzione valutata in un punto. Questo è, . Vedi ad esempio pp. 146 .

Var [\hat{f} (x_{0})]

$\mbox{Var}[\hat{f}(x_0)]$

Grazie per avermi indicato la definizione. Ancora non capisco: come può un singolo punto avere una varianza? La varianza descrive la deviazione dall'aspettativa, quindi sono necessari più punti per renderla possibile, tuttavia la valutazione di fornisce solo un punto (?). È questa la varianza ottenuta stimando la funzione su su più campioni della stessa popolazione?

\hat{f} (x_{0})

$\hat{f}(x_0)$

x_{0}

$x_0$

— miura,

Nota che la varianza non viene calcolata per ma per . Inoltre, lo stimatore è una variabile casuale. Un esempio di questo è uno stimatore di densità del kernel basato su un esempio . Qui la varianza viene calcolata rispetto al campione e può essere calcolata per ciascun valore nel supporto del kernel. Questo è, è una funzione di .

x_{0}

$x_0$

\hat{f} (x_{0})

$\hat{f}(x_0)$

\hat{f}

$\hat{f}$

{\hat{f}}_{h} (x_{0}) = \frac{1}{n h} \sum_{j = 1}^{n} K (\frac{x_{0} - X_{j}}{h})

$\hat{f}_h(x_0)=\frac{1}{nh}\sum_{j=1}^n K\left(\frac{x_0-X_j}{h}\right)$

X_{1}, . . ., X_{n}

$X_1,...,X_n$

X_{1}, . . ., X_{n}

$X_1,...,X_n$

x_{0}

$x_0$

Var (\hat{f} (x_{0}))

$\mbox{Var}(\hat{f}(x_0))$

x_{0}

$x_0$

Quindi si potrebbe dire che la varianza puntuale equivale all'errore standard della statistica , indica campioni ripetuti e gli steli dalla variabilità del campionamento?

\hat{f} (x_{0})

$\hat{f}(x_0)$

X_{1}, . . ., X_{n}

$X_1,...,X_n$

V a r (\hat{f} (x_{0}))

$Var(\hat{f}(x_0))$

— miura,

Sono d'accordo con la tua interpretazione una radice quadrata.

modulo

$\mbox{modulo}$

-1

A pagina 267 dell'ISLR:

Qual è la varianza dell'adattamento, ovvero ? I minimi quadrati restituiscono le stime di varianza per ciascuno dei coefficienti adattati , nonché le covarianze tra coppie di stime dei coefficienti. Possiamo usarli per calcolare la varianza stimata di . $\mathrm{Var}(\hat f(x_0))$ $\hat \beta_j$ $\hat f(x_0)$

— Tony O'Donoghue
fonte