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Sono confuso. Non capisco la differenza tra un processo ARMA e un processo GARCH .. per me ci sono gli stessi no?

Ecco il processo (G) ARCH (p, q)

σ_{t}^{2} = \underset{G A R C H}{\underset{⏟}{\underset{A R C H}{\underset{⏟}{α_{0} + \sum_{i = 1}^{q} α_{i} r_{t - i}^{2}}} + \sum_{i = 1}^{p} β_{i} σ_{t - i}^{2}}}

$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$

Ed ecco l'ARMA ( ): $p, q$

X_{t} = c + ε_{t} + \sum_{i = 1}^{p} φ_{i} X_{t - i} + \sum_{i = 1}^{q} θ_{i} ε_{t - i} .

$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$

L'ARMA è semplicemente un'estensione di GARCH, GARCH viene utilizzato solo per i ritorni e con l'assunto dove segue un forte processo bianco? $r = \sigma\varepsilon$ $\varepsilon$

arima garch finance

— John
fonte

1

Oltre alla risposta di fg nu, il processo di varianza in GARCH è variabile nel tempo. Tuttavia, c'è un trucco qui è che, data una serie temporale di log-return di SP500, quindi per ottenere il processo di volatilità cosa dovremmo fare? Alcuni dicono che dobbiamo usare il modello ARMA per ritirare le serie residue, quindi collegare queste serie residue al modello GARCH per ottenere il processo di varianza condizionale? O collegare direttamente il log-return collegare il processo log-return di SP500 nel modello GARCH per ottenere la varianza condizionale?

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Stai unendo le caratteristiche di un processo con la sua rappresentazione. Considera il processo . $(Y_t)_{t=0}^\infty$

Un modello ARMA (p, q) specifica la media condizionale del processo come

\begin{aligned} E (Y_{t} ∣ I_{t}) & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$ Qui, è l'informazione impostata al tempo , che è l' algebra generata dai valori ritardati del processo di risultato .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

Il modello GARCH (r, s) specifica la varianza condizionale del processo $\begin{aligned} V (Y_{t} ∣ I_{t}) & = & V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) \\ \equiv & σ_{t}^{2} & = & δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{j} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{k} ϵ_{t - m}^{2} \end{aligned}$ $\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$

Nota in particolare la prima equivalenza . $\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

A parte : sulla base di questa rappresentazione, è possibile scrivere dove è un forte processo di rumore bianco, ma questo segue dal modo in cui il processo è definito.

ϵ_{t} \equiv σ_{t} Z_{t}

$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$

Z_{t}

$Z_t$

I due modelli (per la media condizionale e la varianza) sono perfettamente compatibili tra loro, in quanto la media del processo può essere modellata come ARMA e le varianze come GARCH. Questo porta alla specifica completa di un modello ARMA (p, q) -GARCH (r, s) per il processo come nella seguente rappresentazione $\begin{aligned} Y_{t} & = α_{0} + \sum_{j = 1}^{p} α_{j} Y_{t - j} + \sum_{k = 1}^{q} β_{k} ϵ_{t - k} + ϵ_{t} \\ E (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = 0, \forall t \\ V (ϵ_{t} ∣ I_{t}) & = δ_{0} + \sum_{l = 1}^{r} δ_{l} σ_{t - l}^{2} + \sum_{m = 1}^{s} γ_{m} ϵ_{t - m}^{2} \forall t \end{aligned}$ $\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$

— tchakravarty
fonte

Non dovresti condizionare le informazioni al momento se tutti i regressori sono in ritardo?

t - 1

$t-1$

— Jase il

@Jase Nota la definizione "Qui, è l'informazione impostata al tempo , che è l' algebra generata dai valori ritardati del processo di esito ." Cioè, . Alcuni autori lo scrivono come ma ciò è contrario alla nozione di informazione impostata al momento .

I_{t}

$\mathcal{I}_t$

t

$t$

σ

$\sigma$

(Y_{t})

$(Y_t)$

I_{t} = σ (Y_{t - 1}, Y_{t - 2} \dots,)

$\mathcal{I}_t = \sigma(Y_{t-1}, Y_{t-2}\ldots,)$

I_{t - 1}

$\mathcal{I}_{t-1}$ $t$

— Tchakravarty,

Bello! Sai perché usiamo la sigma-algebra e non una filtrazione?

— Jase il

1

@Jase, la sequenza di insiemi di informazioni costituisce una filtrazione .

(I_{t})_{t = 0}^{\infty}

$(\mathcal{I}_t)_{t=0}^\infty$

— Tchakravarty,

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Modifica: mi sono reso conto che la risposta mancava e quindi ho fornito una risposta più precisa (vedi sotto - o forse sopra). Ho modificato questo per errori di fatto e lo sto lasciando per la cronaca.

Diversi parametri di messa a fuoco:

L'ARMA è un modello per la realizzazione di un processo stocastico che impone una struttura specifica della media condizionale del processo.
GARCH è un modello per la realizzazione di un processo stocastico che impone una struttura specifica della varianza condizionale del processo.

~~Modello stocastico contro deterministico:~~

L'ARMA è un modello stocastico nel senso che la variabile dipendente - le realizzazioni del processo stocastico - viene specificata come somma di una funzione deterministica della variabile dipendente ritardata e dell'errore del modello ritardato (la media condizionale) e un termine di errore stocastico.
~~GARCH è un modello deterministico nel senso che la variabile dipendente - la varianza condizionale del processo - è una funzione puramente deterministica delle variabili ritardate.~~

— Richard Hardy
fonte

1

La varianza condizionale del processo GARCH è deterministica nel tuo senso definito, ma il processo GARCH non lo è, poiché e è indipendente dai ritardi di .

r_{t} = σ_{t} ε_{t}

$r_t=\sigma_t\varepsilon_t$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

t

$t$

— mpiktas,

1

@mpiktas, True. Se il modello GARCH contiene due equazioni, una per media condizionale (un esempio di cui hai scritto sopra) e l'altra per varianza condizionale (che è intuitivamente, sebbene non matematicamente, "l'equazione principale" del modello), il mio argomento si applica solo a quest'ultima equazione.

— Richard Hardy,

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ARMA

Considera che segue un processo ARMA ( ). Supponiamo per semplicità che abbia zero varianza media e costante. In base alle informazioni , può essere partizionato in una parte nota (predeterminata) (che è la media condizionale di data ) e una parte casuale : $y_t$ $p,q$ $I_{t-1}$ $y_t$ $\mu_t$ $y_t$ $I_{t-1}$ $u_t$

\begin{aligned} y_{t} & = μ_{t} + u_{t}; \\ μ_{t} & = φ_{1} y_{t - 1} + \dots + φ_{p} y_{t - p} + θ_{1} u_{t - 1} + \dots + θ_{q} u_{t - q} (known, predetermined); \\ u_{t} | I_{t - 1} & \sim D (0, σ^{2}) (random) \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$

dove è un po 'di densità. $D$

La media condizionale stessa segue un processo simile a ARMA ( ) ma senza il termine di errore contemporaneo casuale: dove ; per ; e per . Si noti che questo processo ha ordine ( ) anziché ( ) come . $\mu_t$ $p,q$

μ_{t} = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m},

$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$

m := max (p, q)

$m:=\max(p,q)$

φ_{i} = 0

$\varphi_i=0$

i > p

$i>p$

θ_{j} = 0

$\theta_j=0$

j > q

$j>q$

p, m

$p,m$

p, q

$p,q$

y_{t}

$y_t$

Possiamo anche scrivere la distribuzione condizionale di in termini dei suoi mezzi condizionali passati (piuttosto che i valori realizzati passati) e i parametri del modello come $y_t$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = σ^{2}, \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$

Quest'ultima rappresentazione semplifica il confronto tra ARMA e GARCH e ARMA-GARCH.

GARCH

Considera che segue un processo GARCH ( ). Supponiamo per semplicità che abbia una media costante. Poi $y_t$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = μ; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

dove e è un po 'di densità. $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$

La varianza condizionale segue un processo simile a ARMA ( ) ma senza il termine di errore contemporaneo casuale. $\sigma_t^2$ $s,r$

ARMA-GARCH

Considera che ha zero medio incondizionato e segue un processo ARMA ( ) -GARCH ( ). Poi $y_t$ $p,q$ $s,r$

\begin{aligned} y_{t} & \sim D (μ_{t}, σ_{t}^{2}); \\ μ_{t} & = φ_{1} μ_{t - 1} + \dots + φ_{p} μ_{t - p} + (φ_{1} + θ_{1}) u_{t - 1} + \dots + (φ_{m} + θ_{m}) u_{t - m}; \\ σ_{t}^{2} & = ω + α_{1} u_{t - 1}^{2} + \dots + α_{s} u_{t - s}^{2} + β_{1} σ_{t - 1}^{2} + \dots + β_{r} σ_{t - r}^{2}; \\ \frac{u_{t}}{σ_{t}} & \sim i . i . D (0, 1), \end{aligned}

$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$

dove ; è una certa densità, ad esempio Normale; per ; e per . $u_t:=y_t-\mu_t$ $D$ $\varphi_i=0$ $i>p$ $\theta_j=0$ $j>q$

Il processo medio condizionale dovuto a ARMA ha essenzialmente la stessa forma del processo di varianza condizionale dovuto a GARCH, solo gli ordini di ritardo possono differire (consentendo una media incondizionata diversa da zero di non dovrebbe modificare questo risultato in modo significativo). È importante sottolineare che nessuno dei due ha termini di errore casuali una volta condizionati su , quindi entrambi sono predeterminati. $y_t$ $I_{t-1}$

— Richard Hardy
fonte

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I processi ARMA e GARCH sono molto simili nella loro presentazione. La linea di demarcazione tra i due è molto sottile poiché otteniamo GARCH quando viene assunto un processo ARMA per la varianza dell'errore.

— user36853
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Qual è la differenza tra GARCH e ARMA?

ARMA

GARCH

ARMA-GARCH