Limitazione della distribuzione di cui è normale

Sia una sequenza di variabili casuali iid . Definire e per . Trova la distribuzione limitante di \ frac1n \ sum_ {k = 1} ^ {n} | S_ {k-1} | (X_k ^ 2 - 1)$(X_n)$$\mathcal N(0,1)$$S_0=0$$S_n=\sum_{k=1}^n X_k$$n\geq 1$

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Questo problema proviene da un libro di problemi sulla teoria della probabilità, nel capitolo sul Teorema del limite centrale.

Poiché $S_{k-1}$ e $X_k$ sono indipendenti, $E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$ e

Nota che $|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$ sono chiaramente indipendenti. Il problema è da Problemi di probabilità di Shiryaev , che si basa sul libro di testo dello stesso autore. Il libro di testo non sembra coprire il CLT per variabili correlate. Non so se c'è una sequenza di missaggio fissa che si nasconde da qualche parte ...

Ho eseguito simulazioni per avere un'idea della risposta

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

Di seguito è riportato un istogramma di $2000$ campioni ( $n=20.000$ ). Sembra abbastanza normalmente distribuito ...

Quando simulo la distribuzione ottengo qualcosa che ricorda una distribuzione di Laplace. Ancora meglio sembra essere un q-gausiano (i parametri esatti che dovresti trovare usando la teoria).

Immagino che il tuo libro debba contenere una variazione del CLT che si riferisce a questo (teorema del limite centrale generalizzato q, probabilmente è nella Sezione 7.6 Il teorema del limite centrale per somme di variabili dipendenti , ma non riesco a cercarlo come non hai il libro disponibile).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)