Qualcuno può spiegarmi i parametri di una distribuzione lognormale?

Sto leggendo e questa è la definizione che ho ottenuto dal libro di DeGroot:

Significa che i parametri sono gli stessi? Ad esempio, supponiamo che X sia distribuito in modo lognormale e Y sia normalmente distribuito dove Y = log (X). Sta dicendo che X e Y hanno la stessa media e SD anche se sono distribuzioni di forme diverse? In caso contrario, a quale distribuzione si riferiscono μ e σ?

In altre parole, se qualcuno dice che X è distribuito in modo lognormale con media μ e SD σ, devo fare qualche conversione in modo che media e SD siano in termini normali?

normal-distribution lognormal

— confuso
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Non confondere i parametri di una famiglia di distribuzione con i momenti. Sebbene

μ, σ

$\mu,\sigma$ parametrizzare le distribuzioni di Lognormal, non sono i loro mezzi o deviazioni standard.

— whuber

Hanno gli stessi parametri, ma non hanno la stessa media o la stessa deviazione standard. I due parametri,

μ

$\mu$ e

σ,

$\sigma,$ questa è la deviazione media e standard di

\log X,

$\log X,$ non sono la deviazione media e standard di

X .

$X.$ Ma la deviazione media e standard di

X

$X$ sono funzioni di

μ

$\mu$ e

σ .

$\sigma. \qquad$

— Michael Hardy,

Risposte:

supponiamo che X sia distribuito in modo lognormale e Y sia normalmente distribuito dove Y = log (X)

Questo è dove sei confuso. Non fare ipotesi su due distribuzioni, una delle quali è semplicemente il registro dell'altra.

Invece, inizi con una distribuzione $X$ . Quindi prendi in considerazione $\log X$ . Se $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ , quindi diciamo che la distribuzione originale $X$ è lognormale con i parametri $\mu$ e $\sigma^2$ .

(E poi la media di $X$ è $\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$ , ad esempio, quindi i parametri non sono certamente gli stessi. Questo è anche il motivo per cui è meglio parlare dei "parametri" di un lognormale, piuttosto che di "media e SD" - perché è molto facile confondersi se si riferiscono alla media effettiva o alla media log, lo stesso per SD.)

— Stephan Kolassa
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Ok grazie per il chiarimento. Quindi generalmente quando le persone forniscono i parametri, come μ e σ, che si riferisce alla distribuzione di Y o log (X). Per ottenere la media della distribuzione lognormale è necessaria una conversione.

— confuso il

Bella risposta! Ero in ritardo di pochi secondi nel pubblicare il mio. 😃

— Isabella Ghement,

Ma i parametri sono gli stessi. Quindi media e deviazione standard e molte altre cose sono uguali, ma quei due parametri sono gli stessi.

— Michael Hardy,

@MichaelHardy: sì, i parametri sono gli stessi, per definizione. Faccio una smorfia ogni volta che qualcuno chiama

μ

$\mu$ il "parametro medio del lognormale", perché è solo il log-mean, ed è così facile confonderli.

— Stephan Kolassa,

Wikipedia ha un bell'articolo sulle distribuzioni log-normali: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution . L'articolo rivela che l'X distribuito normalmente e il log distribuito normalmente (X) hanno mezzi e deviazioni standard diversi.

Se X segue una distribuzione log-normale con parametri $\mu$ e $\sigma$ , poi $\mu$ e $\sigma$ rappresenta la media e la deviazione standard della distribuzione di log (X), che è normale. In altre parole, la media e la deviazione standard del registro normalmente distribuito (X) sono:

Media di $\log(X)=\mu$

SD di $\log(X) = \sigma$

La deviazione media e standard dell'X log normalmente distribuito sono le seguenti:

Media di X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD di X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$

— Isabella Ghement
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La risposta di Isabella Ghement è buona .. Volevo solo sottolineare che in quella risposta, SD of X ha un refuso. exp [𝜎 ^ 2−1] dovrebbe essere (exp [𝜎 ^ 2] −1). Stava eseguendo il campionamento Monte Carlo per verificare la media e la SD di una distribuzione log-normale e la mia SD non corrispondeva all'espressione sopra. Verificato la pagina wiki collegata e annotato l'errore di battitura. PS: In realtà volevo aggiungere un commento alla risposta di @Isabella Ghement ma non ho le credenziali necessarie per farlo. Aggiungendo invece una nuova risposta.

— Ajay, un