Il valore di una densità di probabilità per un dato input è un punto, un intervallo o entrambi?

Questo post dice

Un PDF viene utilizzato per specificare la probabilità che la variabile casuale rientri in un determinato intervallo di valori, anziché assumere un valore qualsiasi.

È vero?

questo è il PDF della distribuzione normale standard.

φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

collegare x = 0 nella formula sopra, posso ottenere la probabilità di assumere un valore.

Quel post significa che il PDF potrebbe essere utilizzato sia per punto che per intervallo?

distributions terminology

— yaojp
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Questa risposta di whuber spiega più in dettaglio come interpretare il valore del PDF a un certo punto.

— COOLSerdash,

Benvenuto in CV yaojp. Sospetto che la notazione possa avere un ruolo nella tua perplessità: la funzione è la funzione di distribuzione cumulativa della distribuzione normale standard che è esplicitamente un integrale da a quindi le sue probabilità diverse da zero devono provenire da intervalli .

φ (x)

$\varphi(x)$

- \infty

$-\infty$

x

$x$

— Alexis,

Puoi anche interpretare la densità nel modo seguente: per un intervallo molto piccolo contiene:

[x - ϵ, x + ϵ]

$[x-\epsilon, x+\epsilon]$

P (X \in [x - ϵ, x + ϵ]) \approx 2 ϵ f (x)

$P(X \in [x-\epsilon,x+\epsilon]) \approx 2\epsilon f(x)$

— Sebastian,

Risposte:

La citazione è vera. Quando si collega alla funzione PDF, NON si ottiene la probabilità di assumere questo particolare valore. Il numero risultante è la densità di probabilità che non è una probabilità. La probabilità di prendere esattamente è zero (considerare il numero infinito di valori similmente probabili nell'intervallo minuscolo $x=0$ $x=0$ $x\in[0,10^{-100}]$ ).

Per convincerti ulteriormente che questo $\varphi(x)$ non può essere una probabilità, considera di ridurre la deviazione standard della tua distribuzione normale da $\sigma = 1$ per $\sigma = \frac{1}{100}$ . Adesso, $\varphi(0)=\frac{100}{\sqrt{2\pi}}$ - molto più di uno. Non è una probabilità.

— Trisoloriansunscreen
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Grazie per la tua risposta. Cosa è

x \in [{0..10}^{- 100}]

$x\in[0..10^{-100}]$ per? È discreto? Potresti dare una notazione prestabilita, qualcosa del genere

{0, . . ., 10^{- 99}, 10^{- 100}}

$\{0, ..., 10^{-99}, 10^{-100}\}$ ?

— yaojp,

Mi dispiace per la notazione sciatta. Continuo, non discreto - tutti i numeri tra 0 e

10^{- 100}

$10^{-100}$ . Il punto è che se

φ (x)

$\varphi(x)$ era la probabilità di prendere un valore particolare, la probabilità totale per questo piccolo intervallo sarebbe infinito.

— Trisoloriansunscreen

+1 Benvenuto in CV, @Trisoloriansunscreen. Sono divertito dal tuo nome, supponendo che lo faccia, che fa riferimento alla trilogia di Cixin Liu?

— Alexis,

@Alexis, corretto :)

— Trisoloriansunscreen

Elaborando un po ' la risposta di Trisoloriansunscreen : è vero che hai solo una funzione di densità di probabilità . Vorrei fare un'analogia per te. Immagina di avere un oggetto 3D, ad esempio un'astronave complessa, e conosci la densità di massa in ogni punto.

Ad esempio, alcune parti dell'astronave potrebbero contenere acqua, che ha una densità di massa di . Questo ti dice già qualcosa sulla massa dell'intera astronave? No non lo fa! Proprio perché conosci questo valore solo in un punto specifico. Non hai informazioni su quanta acqua c'è effettivamente. Potrebbe essere o . $997 \frac{\text{g}}{\text{l}}$ $1\ \text{ml}$ $1\ \text{l}$

Supponiamo ora di conoscere la quantità di acqua, diciamo . Per semplice moltiplicazione , ottieni circa . Vorrei sottolineare che hai appena fatto l'integrazione sotto mentite spoglie! Considera la seguente immagine: $2\ \text{l}$ $997 \frac{\text{g}}{\text{l}} \cdot 2\ \text{l}$ $1994\ \text{g}$

La massa calcolata è solo l'area rettangolare ombreggiata in verde. Ciò era possibile solo come semplice moltiplicazione perché la densità di massa era costante per la quantità di acqua considerata e quindi produceva un'area rettangolare.

E se avessi forme miste di acqua, ad esempio un po 'di gas, un po' di liquido, un po 'a temperature variabili e così via? Potrebbe apparire così:

Ora per calcolare la massa dovresti integrare quella funzione di densità di massa sulla quantità di acqua. Vedi ora le funzioni parallele alla densità di probabilità ? Per ottenere una probabilità effettiva (cfr. Massa) è necessario integrare la densità di probabilità (cfr. Densità di massa) su alcuni domini.

— ComFreek
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@Downvoter: potresti per favore includere un feedback costruttivo in un commento? :)

— ComFreek