Cosa c'è di sbagliato nella mia prova della Legge della varianza totale?

Secondo la legge della varianza totale,

$$\operatorname{Var}(X)=\operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) + \operatorname{Var}(\operatorname{E}(X\mid Y))$$

Quando provo a provarlo, scrivo

$$\begin{equation} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left\{\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right\} \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned} \end{equation}$$

Che cosa c'è che non va?

La terza riga è sbagliata, perché non hai $\text{E}[X|Y]$nella seconda riga. Ad esempio, se$Y$ è Bernoulli (1/2) e $X$ è 1 se $Y$ è 1 e -1 se $Y$ è 0, quindi $\text{E}[(X-\text{E}[X|Y])^2|Y] = 0$ (questo è quello che vuoi) perché $Y$ è totalmente informativo di $X$, ma ciò che hai ti darà $\text{E}[(X-\text{E}[X])^2|Y] = \text{E}[(X-0)^2|Y] = \text{E}[X^2|Y] = 1 \ne 0$.

Non mentirò, mi hai fatto mettere in discussione me stesso e ho dovuto fissarlo un po 'prima che mi colpisse, anche se ho dovuto dimostrare LOTV a me stesso un miliardo di volte: P

La transizione dalla seconda alla terza riga non segue. Da$\mathbb{E}(X) \neq \mathbb{E}(X|Y)$ hai:

$$\mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X))^2 | Y ] \neq \mathbb{E}[ (X - \mathbb{E}(X|Y))^2 | Y ] = \mathbb{E}[ \mathbb{V}(X|Y) ].$$

Nel caso speciale in cui $\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(X|Y=y)$ per tutti $y \in \mathbb{R}$ il tuo lavoro e il tuo risultato sarebbero validi, e sarebbe un caso speciale del risultato più generale.

$$\require{cancel} \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &= \operatorname{E}(X - \operatorname{E}X)^2 \\ &= \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left[(X - \operatorname{E}X)^2\mid Y\right]\right) \\ &\ne \operatorname E\left( \operatorname E\left[ (X-\operatorname E(X\mid Y))^2 \right] \mid Y \right) \\ &= \operatorname{E}(\operatorname{Var}(X\mid Y)) \end{aligned}$$