Distribuzioni diverse dalla normale dove media e varianza sono indipendenti

Mi chiedevo se ci fossero delle distribuzioni oltre alla normale dove la media e la varianza sono indipendenti l'una dall'altra (o in altre parole, dove la varianza non è una funzione della media).

distributions

— Wolfgang
fonte

Non sono sicuro di aver capito correttamente la domanda. Stai chiedendo se ci sono distribuzioni diverse dal normale che sono completamente specificate dalla media e dalla varianza? In un certo senso, la varianza è una funzione della media in quanto è una misura della dispersione attorno alla media ma immagino che questo non sia ciò che hai in mente.

intendi la media del campione e la varianza del campione sono indipendenti. Buona domanda ! forse la proiezione di una variabile casuale gaussiana manterrà l'indipendenza?

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$

— Robin Girard,

Srikant ha ragione. Se la domanda è "campione medio e varianza" la risposta è "no". Se la domanda riguarda la media e la varianza della popolazione, la risposta è sì; David fornisce buoni esempi di seguito.

Giusto per chiarire, quello che volevo dire è questo. Per la distribuzione normale, la media e la varianza caratterizzano completamente la distribuzione e non è una funzione di . Per molte altre distribuzioni, non è così. Ad esempio, per la distribuzione binomiale, abbiamo la media e la varianza , quindi la varianza è una funzione della media. Altri esempi sono la distribuzione gamma con parametri (scala) e (forma), dove la media è e la varianza è , quindi la varianza è in realtà

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ

$\mu$

π

$\pi$

n π (1 - π)

$n\pi(1-\pi)$

θ

$\theta$

κ

$\kappa$

μ = κ θ

$\mu = \kappa \theta$

κ t h e t a^{2}

$\kappa theta^2$

μ θ

$\mu \theta$ .

— Wolfgang,

Ti preghiamo di considerare di modificare la tua domanda, quindi, perché la risposta che hai controllato come risposta preferita non risponde alla domanda così com'è (e l'altra lo fa). Attualmente stai usando la parola "indipendente" in modo idiosincratico. Il tuo esempio con Gamma mostra questo: si potrebbe semplicemente ri-parametrizzare Gamma in termini di media (mu) e varianza (sigma), perché possiamo recuperare theta = sigma / mu e kappa = mu ^ 2 / sigma. In altre parole, funzionale "indipendenza" dei parametri di solito è privo di significato (ad eccezione di famiglie con un solo parametro).

— whuber

Risposte:

Nota: leggere la risposta di @G. Jay Kerns, e vedi Carlin e Lewis 1996 o il tuo riferimento di probabilità preferito per lo sfondo sul calcolo della media e della varianza come valore atteso e secondo momento di una variabile casuale.

Una rapida scansione dell'Appendice A di Carlin e Lewis (1996) fornisce le seguenti distribuzioni che sono simili a questo riguardo alla normale, in quanto gli stessi parametri di distribuzione non sono usati nei calcoli della media e della varianza. Come sottolineato da @robin, quando si calcolano le stime dei parametri da un campione, la media del campione è richiesta per calcolare il sigma.

Multivariata Normale

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = Σ

$Var(X) = \Sigma$

t e multivariata t:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = ν σ^{2} / (ν - 2)

$Var(X) = \nu\sigma^2/(\nu - 2)$

Doppio esponenziale:

E (X) = μ

$E(X) = \mu$

V a r (X) = 2 σ^{2}

$Var(X) = 2\sigma^2$

Cauchy: con alcune qualifiche si potrebbe sostenere che la media e la varianza del Cauchy non sono dipendenti.

$E(X)$ e non esistono $Var(X)$

Riferimento

Carlin, Bradley P. e Thomas A. Louis. 1996. Metodi di Bayes e Empirical bayes per l'analisi dei dati, 2a ed. Chapman and Hall / CRC, New York

— David LeBauer
fonte

In qualsiasi famiglia di scala geografica la media e la varianza saranno funzionalmente indipendenti in questo modo!

— whuber

David, il doppio esponenziale è un eccellente esempio. Grazie! Non ci ho pensato. Anche la distribuzione t è un buon esempio, ma non è E (X) = 0 e Var (X) = v / (v-2)? O fa Carlin et al. (1996) definiscono una versione generalizzata della distribuzione t che viene spostata nella sua media e ridimensionata da sigma ^ 2?

— Wolfgang,

Hai ragione, la distribuzione t sembra essere frequentemente caratterizzata con una media = 0 e varianza = 1, ma il pdf generale per t fornito da Carlin e Louis include esplicitamente sia sigma che mu; il parametro nu tiene conto della differenza tra il normale e il t.

— David LeBauer,

In effetti, la risposta è "no". L'indipendenza della media del campione e la varianza caratterizzano la distribuzione normale. Ciò è stato mostrato da Eugene Lukacs in "Una caratterizzazione della distribuzione normale", The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 13, n. 1 (marzo 1942), pagg. 91-93.

Non lo sapevo, ma Feller, "Introduzione alla teoria della probabilità e alle sue applicazioni, Volume II" (1966, pag. 86) afferma che anche RC Geary lo ha dimostrato.

@onestop Immagino sia uno sfortunato manufatto della mia età. Non è un eufemismo affermare che i libri di Feller hanno rivoluzionato il modo in cui è stata fatta la probabilità, in tutto il mondo. Gran parte della nostra notazione moderna è dovuta a lui. Per decenni, i suoi libri sono stati i libri di probabilità da studiare. Forse dovrebbero essere ancora. A proposito: ho aggiunto il titolo a coloro che non hanno sentito parlare dei suoi libri.

Ho posto la domanda su un'altra caratterizzazione divertente

— robin girard

Jay, grazie per il riferimento al documento di Lukacs, che mostra bene che le distribuzioni campionarie della media e della varianza del campione sono indipendenti solo per la distribuzione normale. Per quanto riguarda il secondo momento centrale, ci sono alcune distribuzioni in cui non è una funzione del primo momento (David ha dato alcuni esempi carini).

— Wolfgang,

Geary, RC (1936), “La distribuzione del rapporto 'studentesco' per campioni non normali”, Journal of Royal Statistical Society, Suppl. 3, 178–184.

— vqv