Collegamento tra funzione generatrice di momenti e funzione caratteristica

Sto cercando di capire il legame tra la funzione generatrice del momento e la funzione caratteristica. La funzione generatrice del momento è definita come:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Uso dell'espansione in serie di , Posso trovare tutti i momenti della distribuzione per la variabile casuale X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

La funzione caratteristica è definita come:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

Non capisco completamente quali informazioni danno di più il numero immaginario . Vedo che e quindi non abbiamo solo $i$ $i^2 = -1$ nella funzione caratteristica, ma perché dobbiamo sottrarre momenti nella funzione caratteristica? Qual è l'idea matematica? $+$

— Giuseppe
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Un punto importante è che la funzione generatrice di momenti non è sempre finita! (Vedi questa domanda , per esempio.) Se vuoi costruire una teoria generale, per esempio, sulla convergenza nella distribuzione, ti piacerebbe essere in grado di farlo funzionare con il maggior numero possibile di oggetti. La funzione caratteristica è, ovviamente, finita per qualsiasi variabile casuale poiché

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— cardinale il

Le somiglianze nelle espansioni di Taylor consentono ancora di leggere i momenti, quando esistono, ma nota che non tutte le distribuzioni hanno momenti, quindi l'interesse per queste funzioni va ben oltre! :)

— cardinale il

Un altro punto da notare è che MGF è la trasformazione di Laplace di una variabile casuale e CF è la trasformata di Fourier. Esistono relazioni fondamentali tra queste trasformazioni integrali, vedi qui .

— tchakravarty,

Pensavo che CF fosse la trasformata inversa di Fourier (e non la trasformata di Fourier) di una distribuzione di propensione?

— Giuseppe,

La distinzione è solo una questione di segno nell'esponente, e forse una costante moltiplicativa.

— Glen_b

$1$

$E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— Davide Giraudo
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