Covarianza di variabili casuali trasformate

Ho due variabili casuali e . $X > 0$ $Y > 0$

Dato che posso stimare come posso stimare

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
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Questa domanda passata poneva

— Douglas Zare,

Si potrebbe adottare l'approccio dell'espansione di Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Modificare:

Prendi , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Usa l'espansione multivariata di Taylor per calcolare un'approssimazione a (in modo simile all'esempio alla fine di "First Moment" nel link che fa il caso più semplice di e utilizzare espansioni univariate per calcolare approssimazioni a e (come indicato nella prima parte della stessa sezione) con precisione simile. Da quelle cose, calcola la covarianza (approssimativa). $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

Espandendomi a un simile grado di approssimazione come nell'esempio nel collegamento, penso che tu finisca con termini nella media e nella varianza di ciascuna variabile (non trasformata) e nella loro covarianza.

Modifica 2:

Ma ecco un piccolo trucco che può risparmiare qualche sforzo:

Nota che e e . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Dato abbiamo

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Modifica: l'ultimo passaggio segue dall'approssimazione di Taylor , che è buono per la piccola (prendendo ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(tale approssimazione è esatta per , normale: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Lascia $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

e dato , quindi $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Modificare:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

Quindi . Questo dovrebbe essere esatto per bivariata gaussiana. $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Se si utilizzava la prima approssimazione anziché la seconda, si otterrebbe un'approssimazione diversa qui.

— Glen_b -Restate Monica
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Potresti fornire qualche dettaglio in più, per favore? In ogni caso, thx per il suggerimento

— user7064

Modificato per i dettagli.

— Glen_b

Grazie @Glend_b. Accetterò quando verranno aggiunti i dettagli. Nel frattempo, +1 :-)

— user7064,

Nessun problema; All'epoca ero occupato, poi mi ero completamente dimenticato. Ora riparato

— Glen_b -Restate Monica

Funziona generalmente meglio con variabili non gaussiane se le varianze di e sono piccole (equivalentemente, se i coefficienti di variazione di e sono piccoli).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b

Senza ulteriori ipotesi su e , non è possibile dedurre la covarianza del registro conoscendo la covarianza iniziale. D'altra parte, se sei stato in grado di calcolare da e , cosa ti impedisce di calcolare da e direttamente? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
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