"Peakedness" di una funzione di densità di probabilità distorta

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Vorrei descrivere il "picco" e la "pesantezza" della coda di diverse funzioni di densità di probabilità distorte.

Le caratteristiche che voglio descrivere, sarebbero chiamate "kurtosi"? Ho visto solo la parola "curtosi" usata per distribuzioni simmetriche?

— user1375871
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In effetti, le misure della kurtosi sono in genere applicate alle distribuzioni simmetriche. Puoi calcolarlo anche per quelli obliqui ma l'interpretazione cambia poiché questo valore varia quando viene introdotta l'asimmetria. In effetti, questi due concetti sono difficili da separare. Recentemente, in questo documento è stata proposta una misura invariante di asimmetria della curtosi .

L'alta curtosi è associata al picco e alla pesante coda (è anche caratterizzata da "mancanza di spalle"). Uno dei volumi di Kendall e Stuart discute a lungo di questi argomenti. Ma tali interpretazioni, come notate, sono generalmente date nella situazione di quasi simmetria. In casi non simmetrici, il quarto momento standardizzato è di solito altamente correlato con il quadrato del terzo momento standardizzato, quindi misurano principalmente lo stesso tipo di cose.

— Glen_b

In effetti, dato il modo particolare in cui l'ho definito nel mio precedente commento, è vero anche per le distribuzioni simmetriche: il quadrato del terzo momento standardizzato campione (asimmetria del momento quadrato) è altamente correlato con il quarto momento standardizzato campione ('curtosi'), anche a dire il normale.

— Glen_b

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$\mu_{2}$ $\mu_{3}$ $\mu_{4}$

$B_{1}$ $B_{2}$

$\mu_{3} = \sqrt {B_{1}\ \mu_{2}^{3}}$
$\mu_{4} = B_{2}\ \mu_{2}^{2}$

$\mu_{2} = 1$ $\sqrt {B_{1}}$ $B_{2}$

Abbiamo tentato di riassumere questo grafico qui in modo che potesse essere programmato, ma è meglio rivederlo in Hahn e Shapiro (pagine 42-49,122-132,197). In un certo senso stiamo suggerendo un po 'di reverse engineering del grafico di Pearson, ma questo potrebbe essere un modo per quantificare ciò che stai cercando.

— AsymLabs
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Il problema principale qui è: che cos'è il "picco"? È curvatura al picco (seconda derivata?) Richiede prima la standardizzazione? (Si potrebbe pensare così, ma c'è un flusso di letteratura che inizia con Proschan, Ann. Math. Statist. Volume 36, Numero 6 (1965), 1703-1706, che definisce il picco in un modo che normale con varianza minore sono più " ha raggiunto il picco "). O è la concentrazione di probabilità all'interno di una deviazione standard della media, come implicita in Balanda e Macgillivray (The American Statistician, 1988, Vol 42, 111-119)? Una volta stabilita una definizione, dovrebbe essere banale applicarla. Ma vorrei chiedere: "perché ti importa?" Di quale rilevanza è il "picco", comunque definito?

A proposito, la curtosi di Pearson misura solo le code e non misura nessuna delle definizioni di "picco" sopra menzionate. Puoi modificare i dati o la distribuzione all'interno di una deviazione standard della media quanto vuoi (mantenendo la media = 0 e il vincolo varianza = 1), ma la curtosi può cambiare solo entro un intervallo massimo di 0,25 (di solito molto meno). Quindi puoi escludere l'uso della curtosi per misurare il picco per qualsiasi distribuzione, anche se la curtosi è effettivamente una misura di code per qualsiasi distribuzione, indipendentemente dal fatto che la distribuzione sia simmetrica, asimmetrica, discreta, continua, discreta / continua, o empirica. La kurtosi misura le code per tutte le distribuzioni e praticamente nulla riguardo al picco (comunque definito).

— Peter Westfall
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$\Pr\left(\tilde X \gt 1- \alpha \right)$ $w_1=\frac{\tilde{x_{99}}-\tilde{x_{50}}}{\tilde{x_{75}}-\tilde{x_{50}}}$ $\tilde x$ $w_2=\frac{\tilde{\Phi_{99}}-\tilde{\Phi_{50}}}{\tilde{\Phi_{75}}-\tilde{\Phi_{50}}}$ $\tau=\frac{w_1}{w_2}$

— Giorgio Spedicato
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Non sono sicuro di avere la tua comprensione del picco e della pesantezza. Kurtosis significa "eccesso" in tedesco, quindi descrive la "testa" o "picco" di una distribuzione, descrivendo se è molto ampia o molto stretta. Wikipedia afferma che il "picco" è in realtà descritto dalla "curtosi", mentre il picco non sembra essere una parola reale e dovresti usare il termine "curtosi".

Quindi penso che potresti aver ottenuto tutto a posto, la testa è la Kurtosi, La "pesantezza" della coda potrebbe essere l'asimmetria ":

Ecco come lo trovi:

a_{3} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{3}}{N * s_{x}^{3}}

$a_3 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^3}{N * s^3_x}$

con s come deviazione standard per x.

I valori indicano:

Inclinazione negativa:

a_{3} < 0

$a_3 < 0$

Inclinazione positiva:

a_{3} > 0

$a_3 > 0$

Nessuna inclinazione

a_{3} = 0

$a_3 = 0$

Puoi ottenere un valore per la curtosi con:

a_{4} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{4}}{N * s_{x}^{4}}

$a_4 = \frac{\Sigma^{N}_{i=1}(x_i - \overline x)^4}{N * s^4_x}$

I valori indicano:

Platicurtic:

a_{4} < 3

$a_4 < 3$

Leptocurtic:

a_{4} > 3

$a_4 > 3$

Normale:

a_{4} = 3.0

$a_4 = 3.0$

Ti è stato di aiuto?

— Johannes Hofmeister
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Temo che questa risposta nella sua forma attuale possa essere meno che utile a causa di errori in essa. L'asimmetria è una misura standard di asimmetria . Non è strettamente correlato alla pesantezza delle code: è possibile che le code siano estremamente pesanti e che l'asimmetria sia zero (come nel caso di qualsiasi distribuzione simmetrica, ad esempio). Si noti inoltre che è impossibile che sia negativo, quindi la seconda metà di questa risposta ha poco senso. (Forse hai confuso la kurtosi con l' eccesso di curtosi ?)

a_{4}

$a_4$

— whuber

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Grazie per il chiarimento. Potrebbero davvero esserci degli errori nelle formule, li ho appena copiati dagli script che forniscono a uni. Ho supervisionato il fatto che a4 non può essere negativo.

— Johannes Hofmeister,

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Ho cercato perché la mia risposta è sbagliata: è un errore di traduzione, mi scuso per quello. Le mie diapositive sono tutte in tedesco, mescolando Kurtosis ed Excess .

— Johannes Hofmeister,

@Peter Come Peter Westfall continua a sottolineare, il tuo commento è errato: "peakedness" (di qualsiasi modalità), pensato vagamente come punta o altezza, non ha assolutamente nulla a che fare con le code di qualsiasi distribuzione, né è misurato da alcun finito combinazione di momenti (come la curtosi). Può capitare di essere collegato alla pesantezza delle code per una famiglia di distribuzioni, ma questa è una questione completamente diversa.

— whuber

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La curtosi è sicuramente associata al picco della curva. D'ora in poi credo che tu stia davvero cercando la curtosi che esiste se la distribuzione è simmetrica o meno. (user10525) l'ha sicuramente detto bene! Spero che il tuo problema sia risolto ormai. Condividi i suoi risultati, tutte le opinioni sono benvenute.

— Vani
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Non sono sicuro di come ciò costituisca una risposta utile oltre a quanto già scritto qui. Che ne dici di espandere ulteriormente la curtosi e il picco della curva?

— Momo,

Volevo fornire chiarimenti chiari alla domanda. La discussione sembrava confondere @Momo

— Vani il