Trovare la distribuzione di una statistica

Studiare per un test. Non ho potuto rispondere a questo.

Sia essere iid variabili casuali. Definire$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

e ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

Qual è la distribuzione di , ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

Come posso avere un'idea del metodo migliore da utilizzare quando si avvia un problema come questo?

È un trucco.

Condizionalmente su abbiamo che uguale a Ciò deriva dal fatto che per fisso si tratta di una semplice trasformazione lineare delle due variabili indipendenti distribuite e . Quindi, ha una distribuzione normale. La media condizionale è vista come 0 e la varianza condizionale è (secondo le ipotesi di indipendenza) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

Poiché la distribuzione condizionale di non dipende da , concludiamo che è anche la sua distribuzione marginale, cioè$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

Il resto deriva da risultati standard su medie e residui per variabili casuali normali indipendenti. Il teorema di Basu non è necessario per nulla.